Distribuição beta

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Distribuição cumulativa para distribuição beta usando diferentes valores de a e b.

Na teoria da probabilidade e estatística, a distribuição beta é uma família de distrũições contínuas de probabiliade definidas sobre o intervalo [0, 1] parametrizado por dois parâmetros positivos, chamados a e b, que aparecem como expoentes da variável aleatória e controlam o formato da distribuição.[1] A distribuição beta é uma distribuição de probabilidade cuja função de densidade para valores 0 < x < 1 é

f(x) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1} = \frac{(1-x)^{b-1}x^{a-1}}{B(a,b)}

Aqui, \Gamma é a função gama e B é a função beta.

O valor esperado e a variância de uma variável aleatória X com distribuição beta são

E[X]=\frac{a}{a+b}
V[X]=\frac{ab}{(a+b+1)(a+b)^2}.

Um caso especial da distribuição beta, com a=1 e b=1 é a probabilidade uniforme.

A distribuição beta tem sido usada para modelar o comportamento de variáveis randômicas limitadas por intervalos de tamanho finito numa grande variedade de disciplinas. Por exemplo, vem sendo usada na descrição estatística da frequência de alelos em genética populacional; tempo de alocação em gerenciamento de projetos e sistemas de controle; variabilidade das propriedades do solo; proporção de minerais nas rochas em estratigrafia; e diferenças na probabilidade de transmissão do vírus HIV.

A distribuição beta é também conhecida como distribuição beta de primeiro tipo, onde distribuição beta de segundo tipo é um nome alternativo para distribuição beta prima.

Referências

  1. Weisstein, Eric W. "Beta Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BetaDistribution.html