Distribuição de Cantor

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A Distribuição de Cantor é a distribuição de probabilidade cuja função de distribuição cumulativa é a função de Cantor.

Esta distribuição não tem nem uma função de densidade de probabilidade , nem uma função de massa de probabilidade , já que não é absolutamente contínua com respeito a medida de Lebesgue , nem tem qualquer ponto de massas. Não é nem uma distribuição de probabilidade absolutamente contínua e nem uma distribuição de probabilidade absolutamente discreta , e nem é uma mistura destes. Pelo contrário, é um exemplo de uma distribuição singular.

Sua função de distribuição cumulativa às vezes é referida como escadaria do diabo, embora esse termo tem um significado mais geral. [1]


Caracterização[editar | editar código-fonte]

O suporte da distribuição Cantor é o Conjunto de Cantor, em si a intersecção dos (infinitamente contáveis) conjuntos.


\begin{align}
 C_{0} = & [0,1] \\
 C_{1} = & [0,1/3]\cup[2/3,1] \\
 C_{2} = & [0,1/9]\cup[2/9,1/3]\cup[2/3,7/9]\cup[8/9,1] \\
 C_{3} = & [0,1/27]\cup[2/27,1/9]\cup[2/9,7/27]\cup[8/27,1/3]\cup \\
         & [2/3,19/27]\cup[20/27,7/9]\cup[8/9,25/27]\cup[26/27,1] \\
 C_{4} = & \cdots .
\end{align}

A distribuição Cantor é a distribuição de probabilidade única em que para qualquer Ct (t ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }), a probabilidade de um determinado intervalo de Ct contendo a variável aleatória Cantor-distribuída é idêntica 2-t em cada um dos intervalos de 2t.

Momentos[editar | editar código-fonte]

É fácil de ver por simetria que, para uma variável aleatória X tendo esta distribuição, o seu valor esperado E(X) = 1/2, e que todos os momentos centrais ímpares de X são 0.

A lei da variância total pode ser usada para localizar a variância var(X), como se segue. Para o conjunto acima C1, seja Y = 0 se X ∈ [0,1/3], e 1 se X ∈ [2/3,1]. Então:


\begin{align}
\operatorname{var}(X) & = \operatorname{E}(\operatorname{var}(X\mid Y)) + 
                          \operatorname{var}(\operatorname{E}(X\mid Y)) \\
                      & = \frac{1}{9}\operatorname{var}(X) + 
                          \operatorname{var}
                            \left\{
                             \begin{matrix} 1/6 & \mbox{com probabilidade}\ 1/2 \\ 
                                            5/6 & \mbox{com probabilidade}\ 1/2
                             \end{matrix}
                            \right\} \\
                      & = \frac{1}{9}\operatorname{var}(X) + \frac{1}{9}
\end{align}

A partir disso nós temos:

\operatorname{var}(X)=\frac{1}{8}.

Uma fórmula fechada para qualquer momento central par pode ser encontrada obtendo primeiramente os cumulantes pares


 \kappa_{2n} = \frac{2^{2n-1} (2^{2n}-1) B_{2n}}
                    {n\, (3^{2n}-1)}, \,\!

ondeB2n é o 2n-ésimo número de Bernoulli, e depois colocando os momentos em função dos cumulantes. [2]

Referências

  1. V.N. Bolotov. Cantor Distribution. IEMR - Institute of Electromagnetic Research, , 2001.
  2. Barry C. Arnold. Cantor order statistics: without applications 7th IASC-ARS. Visitado em 18 de fevereiro de 2014.

Links externos[editar | editar código-fonte]