Distribuição de Cantor

Distribuição de Cantor
Distribuição de Cantor
Subclasse de	distribuição singular, Variável aleatória contínua
Origem do Nome	Georg Cantor
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A Distribuição de Cantor é a distribuição de probabilidade cuja função de distribuição cumulativa é a função de Cantor.

Esta distribuição não tem nem uma função de densidade de probabilidade , nem uma função de massa de probabilidade , já que não é absolutamente contínua com respeito a medida de Lebesgue, nem tem qualquer ponto de massas. Não é nem uma distribuição de probabilidade absolutamente contínua e nem uma distribuição de probabilidade absolutamente discreta , e nem é uma mistura destes. Pelo contrário, é um exemplo de uma distribuição singular.

Sua função de distribuição cumulativa às vezes é referida como escadaria do diabo, embora esse termo tem um significado mais geral.

Caracterização

O suporte da distribuição Cantor é o Conjunto de Cantor, em si a intersecção dos (infinitamente contáveis) conjuntos.

${\begin{aligned}C_{0}=&[0,1]\\C_{1}=&[0,1/3]\cup [2/3,1]\\C_{2}=&[0,1/9]\cup [2/9,1/3]\cup [2/3,7/9]\cup [8/9,1]\\C_{3}=&[0,1/27]\cup [2/27,1/9]\cup [2/9,7/27]\cup [8/27,1/3]\cup \\&[2/3,19/27]\cup [20/27,7/9]\cup [8/9,25/27]\cup [26/27,1]\\C_{4}=&\cdots .\end{aligned}}$

A distribuição Cantor é a distribuição de probabilidade única em que para qualquer C_t (t ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }), a probabilidade de um determinado intervalo de C_t contendo a variável aleatória Cantor-distribuída é idêntica 2^-t em cada um dos intervalos de 2^t.

Momentos

É fácil de ver por simetria que, para uma variável aleatória X tendo esta distribuição, o seu valor esperado E(X) = 1/2, e que todos os momentos centrais ímpares de X são 0.

A lei da variância total pode ser usada para localizar a variância var(X), como se segue. Para o conjunto acima C₁, seja Y = 0 se X ∈ [0,1/3], e 1 se X ∈ [2/3,1]. Então:

${\begin{aligned}\operatorname {var} (X)&=\operatorname {E} (\operatorname {var} (X\mid Y))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (X\mid Y))\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} \left\{{\begin{matrix}1/6&{\mbox{com probabilidade}}\ 1/2\\5/6&{\mbox{com probabilidade}}\ 1/2\end{matrix}}\right\}\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+{\frac {1}{9}}\end{aligned}}$

A partir disso nós temos:

$\operatorname {var} (X)={\frac {1}{8}}.$

Uma fórmula fechada para qualquer momento central par pode ser encontrada obtendo primeiramente os cumulantes pares

$\kappa _{2n}={\frac {2^{2n-1}(2^{2n}-1)B_{2n}}{n\,(3^{2n}-1)}},\,\!$

ondeB_2n é o 2n-ésimo número de Bernoulli, e depois colocando os momentos em função dos cumulantes.

Ligações externas

• Morrison, Kent (23 de julho de 1998). «Random Walks with Decreasing Steps» (PDF). Department of Mathematics, California Polytechnic State University. Consultado em 16 de fevereiro de 2007