Distribuição de Dirichlet

Na probabilidade e estatística, a Distribuição de Dirichlet (nome em homenagem à Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet), frequentemente representada por Dir(α), é uma distribuição discreta multivaridada com um parâmetro (vetorial) α não-negativo e real.

Em análises Bayesianas, a distribuição de Dirichlet é usada como a distribuição conjugada da distribuição multinomial, ou seja, se a distribuição a priori é uma distribuição de Dirichlet e a variável observada é uma multinominal, então a distribuição a posteriori será uma distribuição de Dirichlet (com outro parâmetro).

Função de densidade das probabilidades

A função de densidade das probabilidades da distribuição de Dirichlet de ordem K são as seguintes:

$f(x_1, \dots, x_K; \alpha_1, \dots, \alpha_K) = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha)} \prod_{i=1}^K x_i^{\alpha_i - 1}$

Onde $x_i \ge 0\,$, $\sum_{i=1}^K x_i = 1\,$, e $\alpha_i > 0\,$.

A normalização constante é a multinomial função beta, que podem serexpressos nos termos da função gama:

$\mathrm{B}(\alpha) = \frac{\prod_{i=1}^K \Gamma(\alpha_i)}{\Gamma\left(\sum_{i=1}^K \alpha_i\right)}.$

Propriedades

se $X = (X_1, \ldots, X_K)\sim\operatorname{Dir}(\alpha)$ e $\alpha_0 = \sum_{i=1}^K\alpha_i$. então:

$\mathrm{E}[X_i|\alpha] = \frac{\alpha_i}{\alpha_0},$

$\mathrm{Var}[X_i|\alpha] = \frac{\alpha_i (\alpha_0-\alpha_i)}{\alpha_0^2 (\alpha_0+1)} = \frac{\mathrm{E}[X_i|\alpha] (1-\mathrm{E}[X_i|\alpha])}{(\alpha_0+1)}.$

De fato, essa é uma das propriedades da distribuição beta:

$X_i \sim \operatorname{Beta}(\alpha_i, \alpha_0 - \alpha_i).$

Além disso:

$\mathrm{Cov}[X_iX_j|\alpha] = \frac{- \alpha_i \alpha_j}{\alpha_0^2 (\alpha_0+1)}.$

A maneira de distribuição resulta em um vetor (x₁, ..., x_K) com:

$x_i = \frac{\alpha_i - 1}{\alpha_0 - K}, \quad \alpha_i > 1.$

A distribuição de Dirichlet é conjugada como uma distribuição multinomial com a seguinte lógica: se

$\beta|X=(\beta_1, \ldots, \beta_{K})|X \sim \operatorname{Mult}(X),$

Onde β_i São ocorrências dos números i na amostra de n Pontos na discreta distribuição de {1, ..., K} definida por X, então:

$X | \beta \sim \operatorname{Dir}(\alpha + \beta).$

A relação usada nas estatísticas Bayesiana para descobrir o valor das incógnitas, X, de uma distribuição oculta de probrabilidades, dada por n amostras. Intuitivamente, a distribuição prior representada como Dir(α), sendo Dir(α + β) resulta em uma distribuição posterior observadas com o historiograma β.

Neutralidade

(ver artigo principal: Vetor Neutro).

se $X = (X_1, \ldots, X_K)\sim\operatorname{Dir}(\alpha)$, então o vetor ~$X$ será neutro se o sentido de $X_1$ for independente de $X_2/(1-X_1),X_3/(1-X_1),\ldots,X_K/(1-X_1)$ e similar à $X_2,\ldots,X_{K-1}$.

Ver também

• Distribuição beta

Notas

1. Disformização variável,por Luc Devroye

Ligações externas

• (em finlandês)Estudos da Distribuição de Dirichlet
• (em inglês)Calculando os parâmetros da distribuição de Dirichlet