Distribuição de Poisson

Função de probabilidade da distribuição de Poisson para vários valores de λ.

Na teoria da probabilidade e na estatística, a distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade de variável aleatória discreta que expressa a probabilidade de uma série de eventos ocorrer num certo período de tempo se estes eventos ocorrem independentemente de quando ocorreu o último evento.

A distribuição foi descoberta por Siméon-Denis Poisson (1781–1840) e publicada, conjuntamente com a sua teoria da probabilidade, em 1838 no seu trabalho Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile ("Inquérito sobre a probabilidade em julgamentos sobre matérias criminais e civis"). O trabalho focava-se em certas variáveis aleatórias N que contavam, entre outras coisas, o número de ocorrências contínuas que tinham lugar durante um intervalo de tempo de determinado comprimento. A probabilidade de que existam exactamente k ocorrências (k sendo um inteiro não negativo, k = 0, 1, 2, ...) é

$f(k;\lambda)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!},\,\!$

onde

• e é base do logaritmo natural (e = 2.71828...),
• k! é o fatorial de k,
• λ é um número real, igual ao número esperado de ocorrências que ocorrem num dado intervalo de tempo. Por exemplo, se o evento ocorre a uma média de 4 minutos, e estamos interessados no número de eventos que ocorrem num intervalo de 10 minutos, usariámos como modelo a distribuição de Poisson com λ = 10/4 = 2.5.

Como função de k, esta é a função de probabilidade. A distribuição de Poisson pode ser derivada como um caso limite da distribuição binomial.

Processo de Poisson

A distribuição de Poisson aparece em vários problemas físicos, com a seguinte formulação: considerando uma data inicial (t = 0), seja N(t) o número de eventos que ocorrem até uma certa data t. Por exemplo, N(t) pode ser um modelo para o número de impactos de asteróides maiores que um certo tamanho desde uma certa data de referência.

Uma aproximação que pode ser considerada é que a probabilidade de acontecer um evento em qualquer intervalo não depende (no sentido de independência estatística) da probabilidade de acontecer em qualquer outro intervalo disjunto.

Neste caso, a solução para o problema é o processo estocástico chamado de Processo de Poisson, para o qual vale:

$P[N(t)=K]=\frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^k}{k!},\,\!$

em que λ é uma constante (de unidade inversa da unidade do tempo).

Ou seja, o número de eventos até uma época qualquer t é uma distribuição de Poisson com parâmetro λ t.

Propriedades

Média

O valor esperado de uma distribuição de Poisson é igual a λ. Esta propriedade pode ser derivada facilmente :

Em linguagem matemática	Em Português
$E \left [ X \right ] = \sum_{k=0}^{\infty} k\mathbb{P} \left [ X=k \right ]$	Por definição, a esperança de uma variável aleatória X é igual à soma de cada uma das suas possíveis ocorrências ponderadas pela probabilidade de que estas ocorrências aconteçam.
$E \left [ X \right ] = \sum_{k=0}^{\infty} k \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!},\,\! \right ]$	No caso de variáveis com distribuição, a probabilidade de que determinado evento ocorre é calculado por :$f(k;\lambda)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$. Portanto, este valor foi substituído na fórmula.
$E \left [ X \right ] = \begin{matrix} \underbrace{ 0 \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!},\,\! \right ] } \\ k=0 \end{matrix} + \begin{matrix} \underbrace{ 1 \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!},\,\! \right ] } \\ k=1 \end{matrix} + \begin{matrix} \underbrace{ 2 \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!},\,\! \right ] } \\ k=2 \end{matrix}+...$	Esta expressão equivale à expressão da linha imediatamente superior; apenas se substituiu a expressão de somatório pela soma infinita para melhor compreensão. Note que como o primeiro termo é sempre igual a zero, podemos reescrever $E \left [ X \right ] = \sum_{k=0}^{\infty} k \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \right ] = \sum_{k=1}^{\infty} k \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \right ]$
Como $\sum_{k=1}^{\infty} k \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \right ]=\sum_{k=1}^{\infty} \lambda \left [ \frac{e^{-\lambda} \lambda^{k-1}}{(k-1)!} \right ]$	Fazemos uma substituição para facilitar o cálculo.
$E \left [ X \right ] =\lambda \sum_{k=1}^{\infty} \left [ \frac{e^{-\lambda}\lambda^{k-1}}{(k-1)!} \right ]$	Tomamos a substituição acima e tiramos a constante $\lambda$ para fora do somatório (pois o primeiro termo da expressão imediatamente superior é igual à $\lambda*1$.
$E \left [ X \right ] = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \left [ \frac{\lambda^{k}}{(k)!} \right ]$	Nova transformação para facilitar os cálculos...
$E \left [ X \right ] = \lambda e^{-\lambda}$ $\left [ \frac{\lambda^{0}}{(0)!}+ \frac{\lambda^{1}}{(1)!}+ \frac{\lambda^{2}}{(2)!}+\frac{\lambda^{3}}{(3)!}+... \right ]$	Abrindo o somatório, verifica-se que a série converge para $e^\lambda$
$E \left [X \right] = \lambda e^{-\lambda}e^{\lambda}$	Obtemos $e^{-\lambda}e^{\lambda} = e^0 = 1$
$E \left [ X \right ] = \lambda$	Como queríamos demonstrar

Variância

A variância de uma distribuição de Poisson é igual a λ.

Soma de variáveis

A soma de duas variáveis de Poisson independentes é ainda uma variável de Poisson com parâmetro igual à soma dos respectivos parâmetros. Ou seja, se $X_i \sim \mathrm{Poisson}(\lambda_i)\,$ segue uma distribuição de Poisson com parâmetro $\lambda_i\,$ e as variáveis aleatórias $X_i$ são estatisticamente independentes, então

$Y = \sum_{i=1}^N X_i \sim \mathrm{Poisson}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\,$ também segue uma distribuição de Poisson cujo parâmetro é igual à soma dos $\lambda_i\,$.

Por exemplo, $X_1$ é uma variável aleatória que representa o número de óbitos por mil nascimentos na cidade "A" (distribuição de Poisson com média 1,2, digamos) e $X_2$ é uma variável aleatória que representa o número de óbitos por mil nascimentos na cidade "B" (variável de Poisson com média 3). Ao todo, o número de óbitos por mil nascimentos nas cidades "A" e "B" têm distribuição de Poisson com média $\sum_{i=1}^2 \lambda_i=1,2+3=4,2$.

Intervalo de confiança

Um método rápido e fácil para calcular um intervalo de confiança de aproximada de λ, é proposto na Guerriero (2012) . Dado um conjunto de eventos k (pelo menos 15 - 20) ao longo de um período de tempo T, os limites do intervalo confiança para a frequência são dadas por:

$F_{low}=(1-\frac{1.96}{\sqrt{k-1}}) \frac{ k}{T}$

$F_{upp}=(1+\frac{1.96}{\sqrt{k-1}}) \frac{ k}{T}$

em seguida, os limites do parâmetro $\lambda$ são dadas por: $\lambda_{low}=F_{low} T; \lambda_{upp}=F_{upp} T$.

Exemplos

A distribuição de Poisson representa um modelo probabilístico adequado para o estudo de um grande número de fenômenos observáveis. Eis alguns exemplos:

• Chamadas telefônicas por unidade de tempo;
• Defeitos por unidade de área;
• Acidentes por unidade de tempo;
• Chegada de clientes a um supermercado por unidade de tempo;
• Número de glóbulos sangüíneos visíveis ao microscópio por unidade de área;
• Número de partículas emitidas por uma fonte de material radioativo por unidade de

tempo.