Distribuição de probabilidade

Em estatística, uma distribuição de probabilidade descreve a chance que uma variável pode assumir ao longo de um espaço de valores. Ela é uma função cujo domínio são os valores da variável e cuja imagem são as probabilidades de a variável assumir cada valor do domínio. O conjunto imagem deste tipo de função está sempre restrito ao intervalo entre 0 e 1.

Uma distribuição de probabilidade pode ser discreta (como em um jogo de dados) ou contínua. É comum o uso de funções que se ajustem à distribuição de probabilidade.

Distribuições de probabilidade para variáveis discretas

Para este tipo de variável, a distribuição de probabilidade representa a probabilidade de a variável aleatória X assumir um certo valor x: P(X=x). A soma de todas as possibilidade que o x pode assumir terá o valor 1 (100%). As funções de distribuição de probabilidade para variáveis discretas mais famosas são (para todos os casos, a letra "e" significa o número neperiano):

Distribuição	Função de Distribuição de probabilidade da variável aleatória X	Esperança (1º momento)	Variância (2º momento)	Notação
de Boltzmann	Exemplo	Exemplo	E
Bernoulli	$\begin{cases} q=(1-p) & \text{para }k=0 \\ p & \text{para }k=1 \end{cases}$	$E\left(X\right)=p$	$\textrm{Var}\left(X\right)=p\left(1-p\right)\,$	Be~(p)
binomial	$P(k)={n \choose k} p^k q^{n-k}$	$\operatorname{E}[X] = np$	$\operatorname{Var}[X] = np(1 - p)$	B~(p,n)
Binomial negativa	Exemplo	Exemplo	Exemplo	BN~(r,p)
geométrica	Exemplo	Exemplo	Exemplo	Exemplo
hipergeométrica	Exemplo	Exemplo	Exemplo	Exemplo
de Poisson	$f(k;\lambda)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!},\,\!$	$E \left [ X \right ] = \lambda$	$\operatorname{Var}[X] = \lambda$	Poisson~($\lambda$)

Distribuições de probabilidade para variáveis contínuas

Para este tipo de variável, a função distribuição de probabilidade representa a probabilidade de X assumir um valor num intervalo infinitesimal $x+ \delta x$. funções de distribuição de probabilidade mais famosas são (para todos os casos, a letra "e" significa o número neperiano):

Distribuições em intervalos limitados

• Distribuição uniforme: é o modelo mais simples para variáveis aleatórias contínuas .

Distribuição de probabilidade da variável aleatória X	Esperança (1º momento)	Variância (2º momento)	Notação
$f(x,\alpha,\beta)=\left \{ \begin{matrix} \frac{1}{\beta - \alpha}, & \mbox{se }\alpha \le x \le \beta \\ 0, & \mbox{caso contrário} \end{matrix}\right.$	$\mathrm{E}[X] = \frac{\alpha + \beta}{2}$	$\mathrm{Var}[X] = \frac{(\beta - \alpha)^2}{12}$	$X \sim U(\alpha,\beta)$

• Distribuição beta: x está sempre entre 0 e 1

Distribuição de probabilidade da variável aleatória X	Esperança (1º momento)	Variância (2º momento)	Notação
$f(x,\alpha,\beta)= \frac{1}{B(\alpha, \beta)}x^{\alpha - 1}(1-x)^{\beta - 1}, 0<x<1,\alpha>0,\beta>0$, sendo que B denota a função beta: $B(\alpha,\beta)=\int_{0}^{1} x^{\alpha - 1}(1-x)^{\beta - 1}\, dx$	$\mathrm{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$	$\mathrm{Var}[X] = \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2 (\alpha + \beta + 1)}$	Exemplo

Distribuições em intervalos semi infinitos

• Distribuição gama: x é sempre não-negativo

Distribuição de probabilidade da variável aleatória X	Esperança (1º momento)	Variância (2º momento)	Notação
$f(x|\alpha,\beta)=\left \{ \begin{matrix} \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha }, & \mbox{se }x>0 \\ 0, & \mbox{se }x<0 \end{matrix}\right.$, sendo a função gama $\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty} e^{-x}x^{\alpha - 1}\, dx, \alpha > 0$	$\mathrm{E}[X] = \alpha \beta$	$\mathrm{Var}[X] = \alpha \beta^2$	$X \sim Gama(\alpha,\beta)$

• Chi-quadrado: caso especial da distribuição Gama, quando $\alpha=\frac{v}{2}$ e $\beta = 2$, com v>0 inteiro

Distribuição de probabilidade da variável aleatória X	Esperança (1º momento)	Variância (2º momento)	Notação
$f(x,v)=\left \{ \begin{matrix} \frac{1}{\Gamma(v/2)2^{v/2}}x^{v/2 - 1}, & \mbox{se }x>0 \\ 0, & \mbox{se }x<0 \end{matrix}\right.$, sendo $\Gamma(v/2)$ a função gama conforme definido acima	$\mathrm{E}[X] = v$	$\mathrm{Var}[X] = 2v$	$X \sim \mathfrak{X}^2(v)$

• Distribuição exponencial: é um tipo especial de distribuição de Weibull

Distribuição de probabilidade da variável aleatória X	Esperança (1º momento)	Variância (2º momento)	Notação
$f(x,\beta), \beta >0=\left \{ \begin{matrix} \frac{1}{\beta}e^{-x/ \beta}, & \mbox{se }x \ge 0 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \end{matrix}\right.$	$\mathrm{E}[X] = \beta > 0$	$\mathrm{Var}[X] = \beta^2$	$X \sim Exp(\beta)$

Distribuições em intervalos infinitos

Nome da distribuição	Distribuição de probabilidade da variável aleatória X	Esperança (1º momento)	Variância (2º momento)	Notação
Cauchy	$f(x; \theta ) = \frac{1} {\pi} \frac {1}{ \left [ 1+(x-\theta)^2 \right ] }$, se $- \infty < x < + \infty$ e $- \infty < \theta < + \infty$	Não existe (é infinita)	Não existe (é infinita)	Exemplo
log-normal	Exemplo	Exemplo	Exemplo	Exemplo
Normal	$f(x; \mu,\sigma^2 ) = \frac{1} {\sigma\sqrt{2 \pi }} e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$, se $- \infty < x < + \infty$	$\mathrm{E}[X] = \mu < \infty$	$\mathrm{Var}[X] = \sigma^2 < \infty$	$X \sim N(\mu,\sigma^2)$
Logística (parece a distribuição normal mas sua cauda é maior (mais curtose))	$f(x; \mu,s) = \frac{e^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2}$	Exemplo	Exemplo	x.
de Pareto	Exemplo	Exemplo	Exemplo	Exemplo
de Weibull	Exemplo	Exemplo	Exemplo	Exemplo

Referências

• BUSSAB, Wilton de O. e MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. São Paulo: Saraiva, 2002. 5ª edição. ISBN 85-02-03497-9.
• CASELLA, George, e BERGER, Roger L. Inferência estatística - tradução da 2ª edição norte- americana. São Paulo: Centage learning, 2010. ISBN 13: 978-0-495-39187-6.