Divisibilidade

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Em aritmética e teoria dos números, diz-se que um número inteiro não nulo a divide um inteiro b, se existe um inteiro c, tal que b = a*c. Se a divide b, b é chamado múltiplo de a, e a é chamado divisor de b. Se a divide b usa-se o símbolo: a|b

Formalmente escreve-se que: b é divisor de a \Leftrightarrow \exists_{c \in \mathbb{Z}} : a=b c

Propriedades da divisibilidade[editar | editar código-fonte]

  • Se a é um inteiro diferente de 0, temos que: a divide 0;
  • Se a é um inteiro, temos que: 1|a;
  • Se a é um inteiro, temos que: a|a;
  • Se a|1, temos que: a = +1 ou -1;
  • Se a|b e c|d, temos que: ac|bd;
  • Se a|b e b|c, temos que: a|c;
  • Se a|b e b|a, temos que: a = b ou a = -b;
  • Se a|b e b é diferente de 0, temos que: |b| > |a| ou |b| = |a|;
  • Se a|b e a|c, então: a|bx + cy onde x e y são quaisquer inteiros;
  • Se a|b e a|b + c ou a|b - c, temos que: a|c;
  • Se ab|ac então: b|c;
  • Se b|c, então: ab|ac;
  • Se a|b, então (b/a)|b.

Algoritmo da divisão[editar | editar código-fonte]

Teorema: Dados dois números inteiros a e b, b ≠ 0 existe um único par de inteiros q e r tais que:

a = qb + r

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Provaremos para b > 0. Pelo Teorema de Eudoxianos, sejam dois inteiros a e b, b ≠ 0, então ou a é divisor de b ou se encontra entre dois múltiplos de b, ou seja,

qba < (q + 1)b

segue deste teorema que

0 ≤ a - qb < b

definimos então um inteiro r = a - qb e fica provada a existência de r e q. Resta-nos agora provar a unicidade de r e q. Suponha que exista r_1 e q_1 que satisfaça a = q_1b + r_1, temos

(qb + r) - (q_1b + r_1) = 0

(q - q_1)b = (r_1 - r)

então

b | (r_1 - r) (b divide (r_1 - r))

Como r_1 < b e r < b, segue que |r_1 - r| < b, concluímos que

r_1 - r = 0 ⇒ r_1 = r

e

(q - q_1)b = 0

qb = q_1 bq = q_1

Provada a unicidade. Por analogia, provamos também para b < 0.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • 34/7 tem quociente 4 e resto 6 → 34 = 4*7 + 6
  • 25/3 tem quociente 8 e resto 1 → 25 =3*8 + 1

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]