Divisor

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Sejam n, d e q números inteiros, com d diferente de zero (d \ne 0). Dizemos que d é divisor de n (ou que d divide n, ou ainda que n é divisível por d) se existir um q tal que q\cdot d=n (note que isto é o mesmo que escrever n=d\cdot q)

Exemplo:
(n=0) \and (n=d\cdot q) \Rightarrow 0=d\cdot q \Rightarrow q=0, \forall d \in \mathbb{Z}^*
(se n é igual a zero, e se ainda n é igual a d vezes q, então zero é igual a d vezes q, de onde se conclui que q deve ser igual a zero, para todo d pertencente a \mathbb{Z}^*, que é o conjunto dos números inteiros sem o zero)

Formalmente, se d é divisor de n, então:
\exists_{q \in \mathbb{Z}} : n=d\cdot q
(lê-se: existe um número inteiro q tal que n é igual a d vezes q)

Também podemos dizer o seguinte: seja r \in \mathbb{Z}. Se \frac{n}{d} (n dividido por d) tem quociente q e resto r, então n=d\cdot q+r

Note que há duas situações possíveis para o resto r:
1) r = 0
Neste caso, dizemos que d divide n (d é divisor de n). Isto porque a expressão n=d\cdot q+r será igual à expressão n=d\cdot q+0, que é o mesmo que escrever simplesmente n=d\cdot q.
Nota: como o divisor d não pode ser zero, repare que se n for zero o quociente q também terá que ser zero.

2) r \ne 0
Neste caso, dizemos que d não divide n (d não é divisor de n). Isto porque existe um resto r diferente de zero, ou seja, a expressão n=d\cdot q+r não será igual à expressão n=d\cdot q.
Nota: podemos escrever n-r=d\cdot q. O resultado da diferença n-r é um número inteiro. Vamos chamar este número de x, ou seja: n-r=x. Assim, x=d\cdot q. Como d e q também são números inteiros e d é diferente de zero, concluímos que d divide x (d é divisor de x).

Exemplos:
1) A divisão \frac{15}{3} tem quociente 5 e resto 0. Assim:
O numerador da fração é n = 15;
O denominador da fração é d = 3;
O quociente da divisão é q = 5;
O resto da divisão é r = 0.
Como n=d\cdot q+r, escrevemos 15=3\cdot 5+0, ou simplesmente 15=3\cdot 5.
Neste exemplo, o denominador d (= 3) divide 15, portanto d também é divisor de 15 (note que r = 0).


2) A divisão \frac{7}{2} tem quociente 3 e resto 1. Assim:
O numerador da fração é n = 7;
O denominador da fração é d = 2;
O quociente da divisão é q = 3;
O resto da divisão é r = 1.
Como n=d\cdot q+r, escrevemos 7=2\cdot 3+1
Neste exemplo, o denominador d (= 2) não divide 7, portanto d não é divisor de 7 (note que r \ne 0).
Porém, lembre-se de que n-r=d\cdot q. Isto significa que d divide n - r (d é divisor de n - r). Conferindo: d=2 e n-r=7-1=6. Como d\cdot q=2\cdot 3=6, ambas as expressões n-r e d\cdot q valem 6, portanto elas são iguais, e por isto podemos escrever n-r=d\cdot q. Logo, d divide n - r, ou seja, 2 divide 6 (2 é divisor de 6).