Divisor

Sejam n, d e q números inteiros, com d diferente de zero (d $\ne$ 0). Dizemos que d é divisor de n (ou que d divide n, ou ainda que n é divisível por d) se existir um q tal que $q\cdot d=n$ (note que isto é o mesmo que escrever $n=d\cdot q$)

Exemplo:
$(n=0) \and (n=d\cdot q) \Rightarrow 0=d\cdot q \Rightarrow q=0, \forall d \in \mathbb{Z}^*$
(se n é igual a zero, e se ainda n é igual a d vezes q, então zero é igual a d vezes q, de onde se conclui que q deve ser igual a zero, para todo d pertencente a $\mathbb{Z}^*$, que é o conjunto dos números inteiros sem o zero)

Formalmente, se d é divisor de n, então:
$\exists_{q \in \mathbb{Z}} : n=d\cdot q$
(lê-se: existe um número inteiro q tal que n é igual a d vezes q)

Também podemos dizer o seguinte: seja $r \in \mathbb{Z}$. Se $\frac{n}{d}$ (n dividido por d) tem quociente q e resto r, então $n=d\cdot q+r$

Note que há duas situações possíveis para o resto r:
1) r = 0
Neste caso, dizemos que d divide n (d é divisor de n). Isto porque a expressão $n=d\cdot q+r$ será igual à expressão $n=d\cdot q+0$, que é o mesmo que escrever simplesmente $n=d\cdot q$.
Nota: como o divisor d não pode ser zero, repare que se n for zero o quociente q também terá que ser zero.

2) r $\ne$ 0
Neste caso, dizemos que d não divide n (d não é divisor de n). Isto porque existe um resto r diferente de zero, ou seja, a expressão $n=d\cdot q+r$ não será igual à expressão $n=d\cdot q$.
Nota: podemos escrever $n-r=d\cdot q$. O resultado da diferença n-r é um número inteiro. Vamos chamar este número de x, ou seja: $n-r=x$. Assim, $x=d\cdot q$. Como d e q também são números inteiros e d é diferente de zero, concluímos que d divide x (d é divisor de x).

Exemplos:
1) A divisão $\frac{15}{3}$ tem quociente 5 e resto 0. Assim:
O numerador da fração é n = 15;
O denominador da fração é d = 3;
O quociente da divisão é q = 5;
O resto da divisão é r = 0.
Como $n=d\cdot q+r$, escrevemos $15=3\cdot 5+0$, ou simplesmente $15=3\cdot 5$.
Neste exemplo, o denominador d (= 3) divide 15, portanto d também é divisor de 15 (note que r = 0).

2) A divisão $\frac{7}{2}$ tem quociente 3 e resto 1. Assim:
O numerador da fração é n = 7;
O denominador da fração é d = 2;
O quociente da divisão é q = 3;
O resto da divisão é r = 1.
Como $n=d\cdot q+r$, escrevemos $7=2\cdot 3+1$
Neste exemplo, o denominador d (= 2) não divide 7, portanto d não é divisor de 7 (note que r $\ne$ 0).
Porém, lembre-se de que $n-r=d\cdot q$. Isto significa que d divide n - r (d é divisor de n - r). Conferindo: $d=2$ e $n-r=7-1=6$. Como $d\cdot q=2\cdot 3=6$, ambas as expressões $n-r$ e $d\cdot q$ valem 6, portanto elas são iguais, e por isto podemos escrever $n-r=d\cdot q$. Logo, d divide n - r, ou seja, 2 divide 6 (2 é divisor de 6).