Divisor de zero

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em um anel A, um divisor de zero é um elemento diferente de zero que, multiplicado por um outro elemento também diferente de zero, gera o zero.

Caso não comutativo[editar | editar código-fonte]

Em um anel genérico, a multiplicação não é comutativa. Nesse caso, podemos classificar os divisores de zero em:

  • x é um divisor de zero à direita quando x \ne 0 \land \exists a, a \ne 0, ax = 0\,
  • x é um divisor de zero à esquerda quando x \ne 0 \land \exists b, b \ne 0, xb = 0\,
  • x é um divisor de zero quando x é um divisor de zero à direita e um divisor de zero à esquerda

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • No anel \mathbb{Z}_n\,, um elemento m é um divisor de zero se, e somente se, m > 1 e m é um divisor de n.
  • No anel das matrizes n x n (para n > 1) sobre um corpo qualquer, os divisores de zero à esquerda são idênticos aos divisores de zero à direita.
  • O caso acima é um caso particular de uma álgebra associativa que, como espaço vetorial, tem dimensão finita. Neste caso, todo divisor de zero à esquerda é um divisor de zero à direita.
  • O contra-exemplo de uma álgebra associativa em que existem divisores de zero à esquerda que não são divisores de zero à direita pode ser construído assim:
    • Seja S = \mathbb{R}^\mathbb{N}\, o espaço vetorial das sequências infinitas de números reais
    • A álgebra L(S, S) dos operadores lineares de S é um anel, com a operação de soma sendo a soma dos operadores lineares, e a multiplicação sendo a composição de funções.
    • Neste anel, destacam-se três operadores:
      • O movimento para a direita R(a1, a2, a3,...) = (0, a1, a2,...)
      • O movimento para a esquerda L(a1, a2, a3,... ) = (a2, a3,...)
      • A projeção na primeira coordenada T(a1, a2, a3,... ) = (a1, 0, 0, ... ).
    • Nenhum deles é zero, e, como LT = TR = 0, vemos que L é um divisor de zero à esquerda, R é um divisor de zero à direita e T é um divisor de zero.
    • Como LR = 1 (o operador identidade), vemos que nem R pode ser um divisor de zero à esquerda, nem L pode ser um divisor de zero à direita: por exemplo, se XL = 0, então XLR = 0 logo X = 0.
    • Estes operadores podem ser interpretados como matrizes infinitas. A matriz
A = \begin{pmatrix}
0      & 1 & 0      &0&0&\\
0 & 0 & 1 &0&0&\cdots\\
0 & 0 & 0 &1&0&\\
0&0&0&0&1&\\
&&\vdots&&&\ddots
\end{pmatrix}
    • representa L, enquanto que sua transposta B = AT representa R. É fácil ver que AB é a matriz identidade.

Wiki letter w.svg Este artigo sobre matemática é mínimo. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.