Dodecaedro

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
NoFonti.svg
Este artigo ou se(c)ção cita fontes fiáveis e independentes, mas que não cobrem todo o conteúdo (desde Dezembro de 2011). Por favor, adicione mais referências e insira-as corretamente no texto ou no rodapé. Trechos sem fontes poderão ser removidos.
Encontre fontes: Googlenotícias, livros, acadêmicoYahoo!Bing.
Dodecaedro

Um dodecaedro é um poliedro de 12 faces.

Um dodecaedro regular é constituído por 12 pentágonos regulares [1] e é um dos sólidos platónicos.

Dimensões[editar | editar código-fonte]

Se a aresta de um dodecaedro regular é a, o raio de sua esfera circunscrita é

r_u = a\frac{\sqrt{3}}{4} \left(1 + \sqrt{5}\right) \approx 1.401258538 \cdot a

e o raio de sua esfera inscrita é

r_i = a\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{2} +\frac{11}{10}\sqrt{5}} \approx 1.113516364 \cdot a

enquanto o raio médio, que tangencia cada face, é

r_m = a\frac{1}{4} \left(3 +\sqrt{5}\right) \approx 1.309016994 \cdot a

Essas quantidades podem também ser expressas como

r_u = a\, \frac{\sqrt{3}}{2} \varphi
r_i = a\, \frac{\varphi^2}{2 \sqrt{3-\varphi}}
r_m = a\, \frac{\varphi^2}{2}

onde φ é o proporção áurea.

Note que, dado um dodecaedro pentagonal regular de aresta 1, ru é o raio da esfera que circunscreve um cubo de aresta φ, e ri é a apótema de um pentágono regular de aresta φ.

Área e volume[editar | editar código-fonte]

A área A e o volume V de um dodecaedro regular de aresta a é:

A=3\sqrt{25+10\sqrt5}a^2
V=\begin{matrix}{1\over4}\end{matrix}(15+7\sqrt5)a^3

O dodecaedro possui 20 vértices e 30 arestas

Planificação[editar | editar código-fonte]

Planificação de um dodecaedro regular

Dodecahedron flat.svg

Dual[editar | editar código-fonte]

O poliedro dual do dodecaedro é o icosaedro.

Dualdodecaedre.png

Dodecaedro na natureza[editar | editar código-fonte]

O mineral pirita aparece frequentemente em cristais isométricos sob a forma de dodecaedros.

Misticismo[editar | editar código-fonte]

Pela teoria grega dos quatro elementos, a cada um dos elementos estava associado um sólido: terra com o cubo, fogo com o tetraedro, água com o icosaedro e ar com o octaedro;[1] o dodecaedro ficava de fora, sendo considerado o mais misterioso dos sólidos e o mais difícil de construir.[1] De acordo com Platão, Deus havia usado o dodecaedro para construir o universo.[1] [2]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d Herbert Stanley Redgrove, Bygone Beliefs: Being a series of excursions in the byways of thought (1920), Chapter 2, Pythagoras and his phylosophy [em linha]
  2. Platão, Timeu [em linha]
Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.