Dodecaedro

Dodecaedro

Um dodecaedro é um poliedro de 12 faces.

Um dodecaedro regular é constituído por 12 pentágonos regulares e é um dos sólidos platónicos.

Dimensões

Se a aresta de um dodecaedro regular é a, o raio de sua esfera circunscrita (que tangencia todos os vértices do dodecaedro) é

$r_{u}=a{\frac {\sqrt {3}}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\approx 1.401258538\cdot a$

e o raio de sua esfera inscrita (que tangencia cada face) é

$r_{i}=a{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {5}{2}}+{\frac {11}{10}}{\sqrt {5}}}}\approx 1.113516364\cdot a$

enquanto o raio médio (que passa pelo centro de cada aresta) é

$r_{m}=a{\frac {1}{4}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\approx 1.309016994\cdot a$

Essas quantidades podem também ser expressas como

$r_{u}=a\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\varphi$

$r_{i}=a\,{\frac {\varphi ^{2}}{2{\sqrt {3-\varphi }}}}$

$r_{m}=a\,{\frac {\varphi ^{2}}{2}}$

onde φ é o proporção áurea.

Note que, dado um dodecaedro pentagonal regular de aresta 1, r_u é o raio da esfera que circunscreve um cubo de aresta φ, e r_i é a apótema de um pentágono regular de aresta φ.

Área e volume

A área A e o volume V de um dodecaedro regular de aresta a é:

$A=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}$

$V={\begin{matrix}{1 \over 4}\end{matrix}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}$

O dodecaedro possui 20 vértices e 30 arestas

Planificação

Planificação de um dodecaedro regular

Dual

O poliedro dual do dodecaedro é o icosaedro.

Dodecaedro na natureza

O mineral pirita aparece frequentemente em cristais isométricos sob a forma de dodecaedros.

Misticismo

Pela teoria grega dos quatro elementos, a cada um dos elementos estava associado um sólido: terra com o cubo, fogo com o tetraedro, água com o icosaedro e ar com o octaedro; o dodecaedro ficava de fora, sendo considerado o mais misterioso dos sólidos e o mais difícil de construir. De acordo com Platão, Deus havia usado o dodecaedro para construir o universo.

Ver também

• Dodecaedro truncado
• Dodecaedro rômbico
• Dodecaedro pentakis
• Dodecaedro disdiakis
• Dodecaedro snub
• Dodecaedro romano

Ligações externas

• Modelo 3D Interativo do Dodecaedro