Domínio de integridade

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Um domínio de integridade (ou anel de integridade)é um anel (D,+,.) com as seguintes propriedades adicionais:

  1. \exists 1 \in D \ (1 \ne 0 \land \forall x \in D \ (1 . x = x . 1 = x)) (elemento neutro)
  2. \forall x,y \in D \ (x . y = y . x) (comutatividade)
  3. \forall x,y \in D \ (x . y = 0 \rightarrow (x = 0 \lor y = 0)) (não existem divisores de zero)

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Todo corpo é um domínio de integridade
  • Analogamente, todo domínio de integridade finito é um corpo: seja a um elemento não-nulo de um domínio de integridade finito D. Então a função f: D \to D, f(x) = a x\, é injetiva (caso contrário, f(x) = f(y), a x = a y logo a (x - y) = 0 e D teria divisores de zero), logo sobrejetiva, portanto existe b tal que f(b) = 1.
  • Para qualquer corpo ou domínio de integridade D, o anel dos polinômios D[x] é um domínio de integridade.
  • Os anéis finitos \mathbb{Z}_n não são domínios de integridade quando n for um número composto, porque sendo n = a \ b, então em \mathbb{Z}_n \mbox{ , } a \ b = 0. Quando n for um número primo, \mathbb{Z}_n é um corpo (logo, é um domínio de integridade).

Corpo de Frações[editar | editar código-fonte]

Para todo domínio de integridade D existe um corpo K, D \subseteq K\,, tal que todo elemento de K pode ser escrito da forma a/b, sendo a, b \in D\,.

Este é o corpo de frações de D, e é único no seguinte sentido algébrico: se K_1\, é outro corpo K_1 \supseteq D\, em que todo elemento de K_1\, pode ser escrito como a/b com a,b \in D\,, então K e K_1\, são isomorfos.

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