Dualidade de Alvis-Curtis

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Em matemática, a dualidade de Alvis-Curtis é uma operação de dualidade[nota 1] nos caracteres de um grupo redutivo[2] sobre um corpo finito, introduzido por Charles W. Curtis em 1980. Kawanaka (1981-1982) introduziu uma operação de dualidade semelhante para álgebras de Lie.[3] [4]

Definição formal[editar | editar código-fonte]

A ζ* dual de um caratere ζ de um grupo finito G com uma separação em par (B, N)[5] [6] é definida como sendo

\zeta^*=\sum_{J\subseteq R}(-1)^J\zeta^G_{P_J}

Neste caso, a soma é sobre todos os subconjuntos J[7] do conjunto R de raízes simples[8] do sistema Coxeter[9] de G.

O caratere ζPJ é o truncamento de ζ[10] para o subgrupo parabólico PJ[11] do subconjunto J, dado pela restrição ζ a PJ e, em seguida, tomando o espaço das invariantes[12] do radical unipotente de PJ[13] [14] , e ζGPJ é a representação induzida de G.

Referências

  1. Duality in algebraic geometry.
  2. Reductive group [[1]]
  3. Finite groups of Lie type: conjugacy classes and complex characters por Roger William Carter [[1993]
  4. Fourier transforms of nilpotently supported invariant functions on a finite simple Lie algebra por Noriaki Kawanaka 1981-[[2]]
  5. Bourbaki, Nicolas (2002). Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 4–6. Elements of Mathematics. Springer. ISBN 3-540-42650-7. Zbl 0983.17001. The standard reference for BN pairs.
  6. Serre, Jean-Pierre (2003). Trees. Springer. ISBN 3-540-44237-5. Zbl 1013.20001.
  7. Jech, Thomas. Set Theory. [S.l.]: Springer-Verlag, 2002. ISBN 3-540-44085-2
  8. Humphreys, James (1992). Reflection Groups and Coxeter Groups. Cambridge University Press. ISBN 0521436133.
  9. Brink and Howlett (1993), "A finiteness property and an automatic structure for Coxeter groups", Mathematische Annalen (Springer Berlin / Heidelberg), ISSN 0025-5831. 
  10. Coxeter, H.S.M. [Regular Polytopes], (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (pp. 145–154 Chapter 8: Truncation)
  11. Popov, V.L. (2001), "Parabolic subgroup", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  12. [Invariant em mathworld.wolfram.com| Invariant
  13. [Borel, Armand (1956), "Groupes linéaires algébriques", Annals of Mathematics. Second Series (Annals of Mathematics) 64 (1): 20–82, doi:10.2307/1969949, JSTOR 1969949]
  14. Popov, V.L. (2001), "unipotent element", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Notas

  1. Uma dualidade, de um modo geral, traduz conceitos, teoremas ou estruturas matemáticas para outros conceitos, teoremas ou estruturas, de um modo de um-para-um, frequentemente (mas não sempre) por meio de uma operação de involução: se o dual de A é B , então o dual de B é A.[1]
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