Duplicação de férmion

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Em teorias de retículo, campos de férmions experimentam (pelo menos) uma duplicação do número de tipos de partículas em um retículo.

Um retículo é um arranjo periódico de vértices. Se nós aplicarmos uma transformada de Fourier a um retículo, o espaço de momentos é um toro com a forma do domínio fundamental do retículo recíproco chamado de zona de Brillouin.

Isto significa que se observarmos as soluções de ondas sobre um retículo, o autovalor do operador férmion em função do momento (vetor de onda) tem de ser periódico.

Para um campo bosônico livre, a ação é quadrática, por isso os autovalores tendem a ter a forma

\lambda \propto \sqrt{4\sin^2(kL/2)/L^2+m^2}

ou a forma similar onde m \ll 1/L. Em escalas muito maiores que o espaçamento do retículo (i.e. para autovalores próximos de zero) somente os momentos em torno de k=0 são dominantes e nós temos uma única espécie de bóson.

Férmions, por outro lado, são descritos por equações de primeira ordem. Então, poderíamos ter algo que será como

\lambda \propto \frac{\sin(kL)}{ L}

pelo menos com uma dimensão espacial, mas os casos dimensionalmente mais altos são análogos. Se nós observarmos ao limite inferior dos autovalores, nós veremos duas regiões diferentes; uma sobre k=0 e a outra sobre k=π/L. Eles comportam-se como dois tipos de partículas. Isto é chamado duplicação de férmion e cada espécie de férmion é chamada um gosto (em analogia ao sabor dos quarks).

Desenvolvimentos[editar | editar código-fonte]

Duplicação de férmion é uma consequência genérica de ações locais e Hamiltonianos. Um meio de se eliminar estes duplicadores indesejáveis foi primeiramente proposto por Wilson.

Um novo termo, o termo de Wilson, é adicionado à ação de férmion e remove os duplicadores (ou melhor, faz os duplicadores infinitamente pesados e então não observáveis). No entanto, a supressão dos duplicadores terá implicações, porque o termo adicional quebra explicitamente uma simetria fundamental da cromodinâmica quântica (QCD), a simetria quiral. Soluções para este problema tem sido buscadas pela introdução de interações de gauge.[1]

Uma maneira de se ver porque esta é uma característica genérica é olhar para os pontos de Fermi do modelo. Genericamente, haverá mais de um ponto de Fermi (um mesmo número, na verdade).

Também encontram-se duas soluções em espaços de uma dimensão, sendo que uma solução é a maneira genérica para três dimensões e a segunda solução elimina a duplicação em qualquer número de dimensões..[2]

O problema da duplicação de férmions ocorre em formulações numéricas da equação de Dirac sobre retículos quando os operadores do primeiro derivativo são substituídos por expressões diferentes. A descrição destes operadores normalmente conduz a soluções não físicas com dois números de onda para uma única energia. A introdução de transformações unitárias com operadores parciais de paridade permitem obter uma nova equação de Dirac a qual pode ser descrita sem o problema da duplicação de férmion.[3]

Propõe-se resolução do problema da duplicação de férmions em teorias de campo discretas baseadas em esfera difusa e seus produtos cartesianos, pela geometria não comutativa.[4]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Richard Stacey; Gauge invariance and fermion doubling on the lattice ; Zeitschrift für Physik C Particles and Fields Volume 19, Number 1 / March, 1983 (em inglês)
  2. Richard Stacey; Eliminating lattice fermion doubling; Phys. Rev. D 26, 468 - 472 (1982) (em inglês)
  3. Busic O.; Grun N.; Scheid W.; A new treatment of the fermion doubling problem; Physics Letters A, Volume 254, Number 6, 26 April 1999 , pp. 337-340(4) (em inglês)
  4. Balachandran, A. P.; Govindarajan, T. R.; Ydri, B.; The Fermion Doubling Problem and Noncommutative Geometry; Mod.Phys.Lett. A15 (2000) 1279 (em inglês)

Ver também[editar | editar código-fonte]

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