Elipsoide

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
(Redirecionado de Elipsóide)
Ir para: navegação, pesquisa
NoFonti.svg
Este artigo ou se(c)ção cita uma ou mais fontes fiáveis e independentes, mas ela(s) não cobre(m) todo o texto (desde outubro de 2012).
Por favor, melhore este artigo providenciando mais fontes fiáveis e independentes e inserindo-as em notas de rodapé ou no corpo do texto, conforme o livro de estilo.
Encontre fontes: Googlenotícias, livros, acadêmicoScirusBing. Veja como referenciar e citar as fontes.
Imagem tridimensional de um elipsoide

Em matemática, um elipsoide (pré-AO 1990: elipsóide) é um sólido que resulta da rotação de uma elipse em torno de um dos seus eixos. A equação de um elipsoide num sistema de coordenadas cartesiano x-y-z é


{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1

onde a, b e c são números reais positivos que determinam as dimensões e forma do elipsoide. Se dois dos números são iguais, o elipsoide é um esferoide; se os três forem iguais, trata-se de uma esfera.

Supondo a ≥ b ≥ c, então:

  • a ≠ b ≠ c : o elipsoide é escaleno
  • c = 0 : o elipsoide é plano (duas elipses em simetria)
  • b = c : esferoide em forma de charuto
  • a = b : esferoide em forma de comprimido
  • a = b = c : esfera

Volume[editar | editar código-fonte]

O volume de um elipsoide é dado por[1] :

\frac{4}{3} \pi abc

Área da superfície[editar | editar código-fonte]

A área da superfície tem uma fórmula mais complexa, dada por:

2 \pi \left( c^2 + \frac{bc^2}{\sqrt{a^2-c^2}} F(\theta, m) + b\sqrt{a^2-c^2} E(\theta, m) \right)

em que

m = \frac{a^2(b^2-c^2)}{b^2(a^2-c^2)}
\theta = \arcsin{\left( e \right)}
e = \sqrt{1 - \frac{c^2}{a^2}}

e F(\theta, m) e E(\theta, m) são os integrais elípticos incompletos do segundo e terceiro tipos.

Fórmulas aproximadas:

Elipsoide plano: = 2 \pi \left( ab \right)
Se b = c: \approx 2 \pi \left( c^2 + ac \frac{\arcsin{\left( e \right)}}{e} \right)
Se a = b: \approx 2 \pi \left( a^2 + c^2 \frac{\operatorname{arctanh}{\left( e \right)}}{e} \right)
Se o elipsoide é escaleno: \approx 4 \pi \left( \frac{ a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p }{3} \right)^{1/p}

onde p ≈ 1.6075 resulta num erro relativo máximo de cerca de 1.061% (fórmula de Knud Thomsen); um valor de p = 8/5 = 1.6 resulta bem para praticamente todos os elipsoides esferoides, com erro relativo máximo de 1.178% (fórmula de David W. Cantrell).

Transformações lineares[editar | editar código-fonte]

Ao aplicar uma transformação linear invertível a uma esfera, obtém-se um elipsoide

A intersecção de um elipsoide com um plano é um conjunto vazio, um ponto ou uma elipse.

Aplicação em cartografia[editar | editar código-fonte]

Nas ciências cartográficas, os elipsoides são utilizados como aproximação da forma irregular da Terra, já que representam o achatamento nos pólos, ao contrário das esferas. As projecções cartográficas têm como domínio coordenadas elipsoidais.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, and C. W. Clark, (editores), 2010, NIST Handbook of Mathematical Functions (Cambridge University Press)