Energia potencial gravitacional

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A força gravitacional mantém os planetas em órbita ao redor do sol.

A energia gravitacional é a energia potencial associada ao campo gravitacional. De acordo com a mecânica clássica, o potencial gravitacional existe entre duas ou mais massas (ou outras formas de energia-momento). A conservação de energia requer que este potencial seja sempre negativo.[1]

Na relatividade geral, a energia gravitacional é modelada via o pseudotendor Landau-Lifshitz,[2] que permite que as leis de conservação de energia-momento da mecânica clássica sejam retidas

Expressão genérica[editar | editar código-fonte]

  • corpos pontuais

Sabe-se que o campo das forças gravitacionais entre dois corpos pontuais 1 e 2, cuja posição relativa é o vetor \vec r é:

\vec F\left(\vec r\right) = \frac{G\cdot m_1\cdot m_2} {\left\|\vec r \right\|^3} \vec r

onde G representa a constante de gravitação universal, m1 e m2 representam as massas em interação,  \vec r representa o vetor que localiza uma das massas em relação à outra e  r = \| \vec r \| = \sqrt{\vec r . \vec r} representa o módulo (tamanho) do vetor  \vec r , ou seja, a distância entre as massas.

Sendo o campo gravitacional um campo conservativo, é possível definir o seu potencial como uma função U\left(\vec r\right) tal que:

\nabla U\left(\vec r\right) = -\vec F\left(\vec r\right)

Partindo da definição e operando em coordenadas cartesianas tem-se que:

\vec F\left(\vec r\right) = \left( -\frac{\part U\left(\vec r\right)}{\part x}, -\frac{\part U\left(\vec r\right)}{\part y}, -\frac{\part U\left(\vec r\right)}{\part z} \right)

Logo, a função potencial é: ))))->

U\left(\vec r\right)=-\frac{G\cdot m_1\cdot m_2} {\left\|\vec r \right\|}

Da expressão acima, é possível perceber que a energia potencial depende da distância entre os dois corpos sem contudo levar em consideração o vetor-posição de um em relação ao outro. Então pode ser escrita como:

U\left(d\right)=-\frac{G\cdot m_1\cdot m_2}r

Considerando que se saiba que o campo gravitacional é conservativo, também é possível determinar o potencial através da expressão:

\Delta U = - \int\vec F\left(\vec r\right)d\vec r

cujo resultado é igual ao determinado anteriormente.

  • corpos extensos

Para determinar-se a interação gravitacional entre corpos extensos é necessário proceder-se com o cálculo de uma integral de volume sobre os dois corpos a fim de determinar-se a soma das interações gravitacionais entre os infinitos diferenciais de massa nos quais dividem-se os corpos. Tal cálculo mostra-se geralmente dependente da geometria dos corpos, podendo mostrar-se bem complicado em certos casos. Contudo Newton mostrou, com o uso do cálculo diferencial e integral, que pontos externos à uma esfera com distribuição simétrica de massa encontram-se sujeitos a potenciais gravitacionais por ela determinados que são para todos os efeitos completamente análogos àqueles que seriam determinados por uma partícula puntual localizada no centro da esfera uma vez provido que essa encerre em si massa equivalente à massa de toda a esfera. Nesses termos, Newton demonstrou que a expressão geral acima vale também para corpos esféricos que apresentem distribuições de massa (densidades) com simetria esférica (formado por cascas homogêneas), e a citada expressão pode, a exemplo, ser utilizada para calcular-se a energia potencial armazenada em um sistema formado pelo planeta Terra e pela Lua com excelente aproximação, a exemplo. A distância a considerar-se é, no caso, a distância entre os centros dos astros em questão.

Aproximação para campo gravitacional uniforme[editar | editar código-fonte]

Considerando o campo gravitacional próximo à superfície da Terra como sendo uniforme (assumindo as linhas de campo paralelas e a gravidade sendo constante em todos os pontos), define-se o campo das forças gravitacionais como sendo:

\vec F\left(x, y, z\right) = \left(0, 0, -mg\right)

Partindo da definição de potencial, calcula-se o potencial, nesse caso, como sendo:

U\left(x, y, z\right) = mgy

Ou seja, o potencial gravitacional pode ser calculado, nessa aproximação, pelo produto do peso (massa vezes gravidade) pela altura em que o corpo se encontra.

U\left( h \right) = Ph = mgh

Nessa aproximação, válida para pequenas variações de altura em torno de um nível de referência, geralmente a superfície da Terra, usa-se necessariamente um determinado nível como referência, sendo comum adotar-se o nível mais baixo no problema como o ponto de energia potencial zero, o nível do solo, a exemplo. Sendo a energia potencial gravitacional uma grandeza escalar cujo valor depende do nível de referência escolhido, é possível que a energia potencial gravitacional seja negativa, marca atingida se o objeto encontrar-se abaixo do nível adotado como referência, a exemplo.

A expressão para campos uniformes anterior pode também ser deduzida da expressão geral fazendo-se uma expansão em série da mesma e retendo-se apenas o termo em primeira ordem na altura.

Referências

  1. Alan Guth The Inflationary Universe: The Quest for a New Theory of Cosmic Origins (1997), Random House, ISBN 0-224-04448-6 Appendix A: Gravitational Energy demonstrates the negativity of gravitational energy.
  2. Lev Davidovich Landau & Evgeny Mikhailovich Lifshitz, The Classical Theory of Fields, (1951), Pergamon Press, ISBN 7-5062-4256-7

Ver também[editar | editar código-fonte]



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