Epicicloide

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EpitrochoidOn3-generation.gif

A epicicloide é uma curva cíclica definida por um ponto de uma circunferência que rola sem deslizar sobre um círculo diretor1 .

A epiciclóide é um caso especial da epitrocoide. Uma epiciclóide com um único ponto tangendo a circunferência é uma cardioide.

História[editar | editar código-fonte]

O matemático grego Hiparco (190 aC - 120 aC) foi o primeiro a desenvolver as ideias de epiciclóide em sua teoria astronômica dos epiciclos, onde desenvolveu um modelo para o movimento lunar. Em seguida, Ptolemeu, famoso astrônomo e geógrafo grego, usou combinações de epiciclóides para estimar as posições do Sol, da Lua e dos planetas. Essa ideia só foi substituída pela teoria de Nicolau Copérnico (1473 - 1543) de que o Sol, e não a Terra, era o centro do universo.

A construção em si da epiciclóide foi primeiramente descrita em 1525 por Albrecht Dürer (1471 - 1528), um artista alemão. Dürer publicou essa muitas outras curvas em seu primeiro artigo matemático. Gerard Desargues (1591 - 1661), engenheiro francês, foi o primeiro a fazer uso da epiciclóide nos sistemas de abastecimento de água na região de Paris. Outro uso prático da epiciclóide é o da engrenagem mecânica, ainda que se debata de quem foi a ideia. Olaus Roemer (1644 - 1710), astrônomo dinamarquês, é tido como o autor da investigação do uso da epiciclóide nos dentes das engrenagens apesar de haver uma discussão envolvendo o matemático francês Philippe de La Hire (1640 - 1719) cujo pai foi aluno de Desargues, que supostamente teria feito o mesmo vinte anos antes.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Epicycloid geometry.svg

Assumimos que a posição do ponto p é o que queremos solucionar, \alpha é o ângulo em radiano a partir do ponto tangenciado até o ponto móvel p, e \theta é o ângulo em radiano a partir do ponto inicial até o ponto tangenciado.

Como não há deslizamento entre os dois círculos,

\ell_R=\ell_r

A partir da definição de radiano (tamanho do arco sobre o raio), temos que

\ell_R= \theta R, \ell_r=\alpha r

A partir dessas duas condições, temos a identidade

\theta R=\alpha r

Através de cálculos, encontramos a relação entre \alpha e \theta, que é

\alpha =\frac{R}{r} \theta

Observando a figura, vemos facilmente a posição do ponto p.

 x=\left( R+r \right)\cos \theta -r\cos\left( \theta+\alpha \right) =\left( R+r \right)\cos \theta -r\cos\left( \frac{R+r}{r}\theta \right)
y=\left( R+r \right)\sin \theta -r\sin\left( \theta+\alpha \right) =\left( R+r \right)\sin \theta -r\sin\left( \frac{R+r}{r}\theta \right)

Involuta[editar | editar código-fonte]

Involuta da Epiciclóide

A involuta de uma epiciclóide parametrizada da forma

 x =\left( R+r \right)\cos \theta -r\cos\left( \frac{R+r}{r}\theta \right)
 y =\left( R+r \right)\sen \theta -r\sen\left( \frac{R+r}{r}\theta \right)

é outra epiciclóide dada por

 x =\left( \frac{R+2r}{r} \right)[\left( R+r \right)\cos \theta +r\cos[\left( \dfrac{R+r}{r} \right)\theta ]]
 y =\left( \frac{R+2r}{r} \right)[\left( R+r \right)\sen \theta +r\sen[\left( \dfrac{R+r}{r} \right)\theta ]]

representada pela cor azul na figura ao lado, com R = 3 e r = 1.

Evoluta[editar | editar código-fonte]

Envoluta da Epiciclóide

A evoluta de uma epiciclóide parametrizada da forma

 x =\left( R+r \right)\cos \theta -r\cos\left( \frac{R+r}{r}\theta \right)
 y =\left( R+r \right)\sen \theta -r\sen\left( \frac{R+r}{r}\theta \right)

é outra epiciclóide dada por

 x =\left( \frac{r}{R+2r} \right)[\left( R+r \right)\cos \theta +r\cos[\left( \dfrac{R+r}{r} \right)\theta ]]
 x =\left( \frac{r}{R+2r} \right)[\left( R+r \right)\sen \theta +r\sen[\left( \dfrac{R+r}{r} \right)\theta ]]

representada pela cor verde na figura ao lado, com R = 5 e r = 1.

Epiciclóide Encurtada[editar | editar código-fonte]

Se o ponto da curva estiver dentro da circunferência, a curva descrita será uma epicicloide encurtada2 .

Epiciclóide Alongada[editar | editar código-fonte]

Se o ponto da curva estiver fora da circunferência, a curva descrita será uma epicicloide alongada.2

Referências

  1. Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982, cap. 13, p. 286
  2. a b [1] Movimentos com vínculos, página visitada em 20-07-2011.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Galeria de epiciclóides[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

  • [2] Animação da cicloide, epicicloide, hipocicloide. Página acessada em 24 de julho de 2011.
  • [3] Curvas Cíclicas. Página acessada em 24 de julho de 2011.
  • [4] The Epicycloid by Dennis Astley e Emily Astley.