Equação Tolman-Oppenheimer-Volkoff

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Em astrofísica, a equação Tolman-Oppenheimer-Volkoff delimita a estrutura de um corpo de material isotrópico simétrico esfericamente o qual esteja em equilíbrio gravitacional, como modelado pela relatividade geral. A equação[1] é

\frac{dP(r)}{dr}=-\frac{G(\rho(r)+P(r)/c^2)(M(r)+4\pi P(r) r^3/c^2)}{r^2(1-2GM(r)/rc^2)}.

Aqui, r é uma coordenada radial, e ρ(r0) e P(r0) são a densidade e a pressão, respectivamente, do material em r=r0. M(r0) é a massa total dentro do raio r=r0, como medido por observador distante de um campo gravitacional. Satisfaz-se M(0)=0 e [1]

\frac{dM(r)}{dr}=4 \pi \rho(r) r^2.

A equação é derivada por resolução das equações de Einstein para um tempo-invariante geral, numa métrica esfericamente simétrica. Para uma solução a equação de Tolman-Oppenheimer-Volkoff, esta métrica irá tomar a forma[1]

ds^2=e^{\nu(r)} c^2 dt^2 - (1-2GM(r)/rc^2)^{-1} dr^2 - r^2(d\theta^2 + sin^2 \theta d\phi^2),

Onde ν(r) é determinado pela delimitação[1]

\frac{d\nu(r)}{dr}=-\frac{2}{P(r)+\rho(r)c^2} \frac{dP(r)}{dr}.

Quando suplementada com uma equação de estado, F(ρ, P)=0, a qual relaciona densidade à pressão, a equação Tolman-Oppenheimer-Volkoff determina completamente a estrutura de um corpo de material isotrópico simétrico esfericamente em equilíbrio. Se termos de ordem 1/c² são negligenciados, a equação Tolman-Oppenheimer-Volkoff tenderá à equação hidrostática Newtoniana, usada para encontrar a estrutura de um corpo de material isotrópico simétrico esfericamente em equilíbrio quando correções da relatividade geral não são importantes.

Se a equação é usada para modelar uma esfera de material limitada no vácuo, a condição de pressão-zero P(r)=0 e a condição eν(r)=1-2GM(r)/rc² devem ser impostas ao limite. A segunda condição de limitação é imposta quando a métrica na limitação é contínua com a única solução estática esfericamente simétrica às equações de vácuo de campo, a métrica de Schwarzschild

ds^2=(1-2GM_0/rc^2) c^2 dt^2 - (1-2GM_0/rc^2)^{-1} dr^2 - r^2(d\theta^2 + sin^2 \theta d\phi^2).

Aqui, M0 é a massa total do objeto, novamente, quando medido por um observador distante num campo gravitacional. Se a limitação é em r=rB, a constinuidade da métrica e a definição de M(r) requerem que

M_0=M(r_B)=\int_0^{r_B} 4\pi \rho(r) r^2\, dr.

Calculando a massa por integração da densidade do objeto pelo seu volume, por outro lado, resultará no maior valor

M_1=\int_0^{r_B} \frac{4\pi \rho(r) r^2}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}} \, dr.

A diferença entre estas duas grandezas,

\delta M=\int_0^{r_B} 4\pi \rho(r) r^2((1-2GM(r)/rc^2)^{-1/2}-1)\, dr,

será a energia gravitacional obrigatória do objeto dividido por c².

Histórico[editar | editar código-fonte]

Tolman analisou métricas esfericamente simétricas em 1934 e 1939.[2] ,[3] A forma da equação dada aqui foi deduzida por Oppenheimer e Volkoff seu artigo de 1939, "On Massive Neutron Cores".[1] Neste artigo, a equação de um gás Fermi degenerado de nêutrons era usada para calcular corpos acima do limite superior de ~0.7 massas solares para a massa gravitacional de uma estrela de nêutron. Desde que esta equação de estado não é realística para uma estrela de nêutrons, esta massa limitante igualmente é incorreta. Modernas estimativas para este limite situam-se na faixa de 1.5 a 3.0 massas solares.[4]

Tratamentos recentes[editar | editar código-fonte]

O equilíbrio termodinâmico de um fluido perfeito ou sistema esfericamente simétrico contendo um buraco negro de massa M tem sido investigado pelos significados da equação Tolman-Oppenheimer-Volkoff, sendo que uma singular família de soluções da TOV foram apresentadas. A r>>2M estas soluções podem ser usadas para representar um fluido perfeito (i.e., "gás de fótons") de temperatura TBH=(8πM)-1 em equilíbrio como um buraco negro de Schwarzschild. Nestes casos, a energia é positiva a todo r>0. Em tal estudo é apresentado que um ponto de massa negativa situa-se a r=0.[5]

Para determinadas formas da equação de estado existe um invariante com respeito ao espaço variável r na teorização de Tolman-Oppenheimer-Volkoff da estrutura estelar. A forma deste invariante tem sido obtida e alguns de seus significados físicos têm sido discutidos.[6]

Se investiga a possibilidade de objetos compactos poderem ser os aceleradores de raios cómicos de alta energia. Isto inclui a generalização da equação de Tolman-Oppenheimer-Volkoff para esta classe de objetos. Para tal, são assumidas uma equação politrópica de estado para o fluido e, para simplificar, uma relação linear entre a densidade de carga e a densidade de energia do fluido. Foram obtidos limites superiores para a carga que tais objetos podem adquirir e a estabilidade destas configurações de equilíbrio.[7]

Estuda-se soluções estáticas das equações de Tolman-Oppenheimer-Volkoff de objetos esfericamente simétricos (estrelas) que existam em um espaço preenchido com o gás de Chaplygin.[8]

Referências

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]