Equação algébrica

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Em matemática, Equações algébricas são equações de forma:

P = Q

As incógnitas são submetidas apenas às chamadas operações algébricas, ou seja, soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação inteira e radiciação, utilizando letras e números. Por exemplo:

x^2 + 3xy - 4y^2 + 1 = 0 \,

Um caso particular deste tipo de equações são as equações polinomiais.

Gregos, Babilônios e diversos povos antigos trabalhavam com problemas e suas maneiras de solucionar que recaem hoje em equações algébricas, porém o matemático Euclides em seu livro Os Elementos[1] foi quem primeiro estabeleceu preceitos formais para resolução de equações algébricas, ele enunciou as seguintes noções como evidentes:

  1. As cousas, que são iguais a uma terceira, são iguais.
  2. Se a cousas iguais se juntarem outras iguais, os todos serão iguais.
  3. E sé de cousas iguais se tirarem outras iguais, os restos serão iguais.
  4. E se a cousas desiguais se juntarem outras iguais, os todos serão desiguais.
  5. E se de, cousas desiguais se tirarem cousas iguais, os restos serão desiguais.
  6. As quantidades, das quais cada uma por si faz o dobro de outra quantidade, são iguais.
  7. E aquelas, que são metades de uma mesma quantidade,são também iguais.

Parece ter sido a partir das idéias de Euclides que o matemático al-Khwarizm, considerado fundador da álgebra, introduziu em 820 o seu método de complementação e balanceamento que permite resolver equações do tipo ax + b = c, pois (ax + b) - b = c - b que implica que ax = c - b, logo ax/a = (c - b)/a que implica x = (c - b)/a. Note que tal procedimento só faz sentido pois podemos fazer uso de subtrações e divisões por elementos não nulos, o que exige que existam elementos simétricos de cada elemento e elemento inverso de elementos não nulos.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  1. Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes. Exemplo: a equação x³ - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0, 1, -1}.
  2. Se b for raiz de P(x) = 0, então P(x) é divisível por x - b. Esta propriedade é muito importante para abaixar o grau de uma equação, o que se consegue dividindo P(x) por x - b, aplicando o Algoritmo de Briot-Ruffini.
  3. Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0, então o conjugado a - bi também será raiz. Exemplo: qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, sabendo-se que três de suas raízes são os números 5, 3 + 2i e 4 - 3i. Ora, pela propriedade 3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também raízes. Logo, pela Propriedade 1, concluímos que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui no mínimo 5 raízes.
  4. Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k. Exemplo: a equação (x - 4)¹⁰ = 0 possui 10 raízes iguais a 4 . Portanto 4 é raiz décupla ou de multiplicidade 10 .
  5. Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula, então a unidade é raiz da equação (1 é raiz). Exemplo: 1 é raiz de 40x⁵ - 10x³ + 10x - 40 = 0 pois a soma dos coeficientes é igual a zero.
  6. Toda equação de termo independente nulo, admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da variável. Exemplo: a equação 3x⁵ + 4x² = 0 possui duas raízes nulas. A equação x¹⁰⁰ + x¹² = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas.
  7. Se x1 , x2 , x3 , ... , xn são raízes da equação aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0 , então ela pode ser escrita na forma fatorada: ao (x - x1) . (x - x2) . (x - x3) . ... . (x - xn) = 0. Exemplo: Se - 1, 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau, então podemos escrever (x+1). (x-2). (x-53) = 0 que desenvolvida fica: x³ - 54x² + 51x + 106 = 0.

Referências

  1. EUCLIDES, Tradução: Bicudo, irineu. Os Elementos. São Paulo: Ed. Unesp, 2009.
  1. [1] EUCLIDES, Os Elementos. Tradução: Bicudo, Irineu. Ed. Unesp, São Paulo, 2009.
  2. GARBI, G. G.. In: Vick's. O Romance das Equações Algébricas. 2ª Edição. ed. São Paulo: [s.n.], 2007. ISBN 85-88325-76-4.
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