Equação da onda

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Ondas esféricas que vêm de uma fonte de ponto.

A equação da onda é uma equação diferencial parcial linear de segunda ordem importante que descreve a propagação das ondas – tais como ocorrem na física – tais como ondas sonoras, luminosas ou aquáticas. Ela surge em áreas como a acústica, eletromagnetismo, e dinâmica dos fluidos. Historicamente, o problema de uma corda vibrante como as de um instrumento musical foi estudado por Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, e Joseph-Louis Lagrange.[1] [2] [3] [4]

Um pulso viajando através de uma corda com extremidades fixas, como modelado pela equação de onda.

Introdução[editar | editar código-fonte]

Equações de onda são exemplos de equações diferenciais parciais hiperbólicas, mas existem muitas variações.

Na sua forma mais simples, a equação de onda diz respeito a uma variável de tempo t, uma ou mais variáveis ​​espaciais x1, x2, …, xn, e uma função escalar u = u (x1, x2, …, xn; t), cujos valores poderiam modelar o deslocamento de uma onda. A equação de onda para u é:

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \nabla^2 u

onde ∇2 é o (espacial) Laplaciano e onde c é uma constante fixa.


Soluções desta equação que são inicialmente zero, fora de alguma região restrita, propagar-se-ão na região a uma velocidade fixa em todas as direções espaciais, assim como ondas físicas a partir de uma perturbação localizada, a constante c é identificado com a velocidade de propagação da onda. Esta equação é linear, da mesma forma que a soma de quaisquer duas soluções é novamente uma solução: na física esta propriedade é chamado princípio da superposição.

A equação sozinha não especifica uma solução, uma solução única é normalmente obtido pela fixação de um problema com outras condições, tais como condições iniciais, que prescrevem o valor e a velocidade da onda. Outra classe importante de problemas especifica as condições de contorno, para os quais as soluções representam ondas estacionárias, ou harmônicos, análogos aos harmônicos de instrumentos musicais.

Para modelo de fenômenos de onda dispersivos , aqueles em que a velocidade de propagação da onda varia com a frequência da onda, a constante c passa a ter a velocidade de fase:

v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}

A equação da onda elástica em três dimensões descreve a propagação de ondas em meio elástico isotrópico homogêneo. A maioria dos materiais sólidos são elásticos, por isso esta equação descreve fenômenos como as ondas sísmicas na Terra e as ondas de ultra-som usados ​​para detectar falhas em materiais. Enquanto linear, esta equação tem uma forma mais complexa do que as equações acima, como deve contabilizar movimento tanto longitudinal e transversal:

\rho{ \ddot{\bold{u}}} = \bold{f} + ( \lambda + 2\mu )\nabla(\nabla \cdot \bold{u}) - \mu\nabla \times (\nabla \times \bold{u})

em que: λ e μ são os chamados parâmetros Lamé descrevendo as propriedades elásticas do meio, ρ é a densidade, f é a função fonte (força motriz), e u é o vetor de deslocamento.

Nota-se que nesta equação, tanto a força quanto o deslocamento são grandezas vetorias . Assim, esta equação é conhecida como a equação de onda do vetor.

Variações da equação de onda também são encontrados na mecânica quântica, física de plasma e relatividade geral.

Equação de onda escalar em uma dimensão espacial[editar | editar código-fonte]

Derivação da equação de onda[editar | editar código-fonte]

A lei de Hooke[editar | editar código-fonte]

A equação de onda no caso unidimensional pode ser derivada a partir da lei de Hooke, da seguinte forma: imagine uma matriz de pequenos pesos de massa m interligado com molas sem massa de comprimento h. As molas têm uma constante elástica k:

Array of masses.svg

Aqui u (x) mede a distância a partir do equilíbrio de massa situado at x. As forças exercidas sobre a massa m na posição x + h são as seguintes:

F_{\mathit{Newton}}=m \cdot a(t)=m \cdot {{\partial^2 \over \partial t^2}u(x+h,t)}
F_\mathit{Hooke} = F_{x+2h} - F_x = k \left [ {u(x+2h,t) - u(x+h,t)} \right ] + k[u(x,t) - u(x+h,t)]

A equação do movimento para o peso na posição x + h é dada pela igualação dessas duas forças:

m{\partial^2\over \partial t^2} u(x+h,t) = k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]

em que a dependência com o tempo de u(x) foi explicitado.

Se o conjunto de pesos consiste em N pesos uniformemente espaçados ao longo do comprimento L = NH da massa total M = Nm, enquanto a constante da matriz K=K/N, podemos escrever a equação acima como:

{\partial^2 \over \partial t^2} u(x+h,t)={KL^2 \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^2}

Tomando o limite N→ ∞, h → 0 e assumindo a lisura que se obtém:

 {\partial^2 u(x,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{ \partial^2 u(x,t) \over \partial x^2 }


(KL2)/M é o quadrado da velocidade de propagação, neste caso particular.

Solução geral[editar | editar código-fonte]

Para uma equação de onda unidimensional é incomum que sua equação diferencial parcial envolva uma solução geral relativamente simples de ser encontrada. Desse modo,definindo novas variáveis​​:[5]

\xi = x - c t \quad ; \quad \eta = x + c t

muda a equação de onda em

\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 0

o que leva a solução geral:

u(\xi, \eta) = F(\xi) + G(\eta)

ou equivalentemente:

u(x, t) = F(x - c t) + G(x + c t)

Em outras palavras, as soluções da equação de onda 1D são somas de um certo "viajando" função F e uma função G. "viajar" significa que a forma destas funções arbitrárias individuais no que diz respeito a X permanece, no entanto, as funções são deslocadas para a direita( função F) ou esquerda ( função G) a razão ct. Isso foi obtido por Jean le Rond d'Alembert.[6]

Outra forma de chegar a este resultado é notar que a equação de onda pode ser reescrita como:

\left[\frac{\part}{\part t} - c\frac{\part}{\part x}\right] \left[ \frac{\part}{\part t} + c\frac{\part}{\part x}\right] u = 0

e, portanto:

\frac{\part u}{\part t} - c\frac{\part u}{\part x} = 0 \qquad \mbox{e} \qquad \frac{\part u}{\part t} + c\frac{\part u}{\part x} = 0

Estas duas últimas equações são chamadas equações de advenção, uma "viajando" para a esquerda e a outra à direita, ambos com velocidade constante c. Por um problema de valor inicial, as funções arbitrárias F e G podem ser determinadas para satisfazer as condições iniciais:

u(x,0)=f(x)
u_t(x,0)=g(x)

O resultado é a fórmula D'Alembert:

u(x,t) = \frac{f(x-ct) + f(x+ct)}{2} + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s) ds

No sentido clássico, se f (x)Ck e g(x) ∈ Ck−1 , então u(t, x) ∈ Ck. No entanto, as formas de onda F e G podem também ser funções generalizadas, como por exemplo a função de delta. Nesse caso, a solução pode ser interpretado como um impulso que se desloca para a direita ou para a esquerda.

A equação básica de onda é uma equação diferencial linear e por isso vai aderir ao princípio da sobreposição. Isto significa que o deslocamento de líquido causada por dois ou mais ondas é a soma dos deslocamentos que teriam sido causadas por cada onda individual. Além disso, o comportamento de uma onda pode ser analisada pela divisão da onda em componentes, por exemplo, a transformada de Fourier quebra uma onda em componentes senoidais.

Equação de onda escalar em duas dimensões espaciais[7] [editar | editar código-fonte]

Em duas dimensões espaciais, a equação de onda é:

 u_{tt} = c^2 \left( u_{xx} + u_{yy} \right).

Podemos usar a teoria tridimensional para resolver este problema se considerarmos u como uma função em três dimensões, que é independente da terceira dimensão. Se

 u(0,x,y)=0, \quad u_t(0,x,y) = \phi(x,y),

em seguida, a solução de fórmula geral tridimensional torna

 u(t,x,y) = tM_{ct}[\phi] = \frac{t}{4\pi} \iint_S \phi(x + ct\alpha,\, y + ct\beta) d\omega,

onde α e β são as duas primeiras coordenadas na esfera unitária, e dω é o elemento de área sobre a esfera. Esta integral pode ser reescrita como uma parte integrante ao longo do disco D, com o centro (x, y) e um raio de ct:

 u(t,x,y) = \frac{1}{2\pi c} \iint_D \frac{\phi(x+\xi, y +\eta)}{\sqrt{(ct)^2 - \xi^2 - \eta^2}} d\xi\,d\eta.

É evidente que a solução de (t, x, y) depende não só dos dados sobre o cone de luz ,onde

 (x -\xi)^2 + (y - \eta)^2 = c^2 t^2,

mas também em dados que são interiores ao cone.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. (1981) "The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742" 6: ix + 184 pp.. New York: Springer-Verlag. GRAY, JW. (July 1983). "BOOK REVIEWS". BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 9 (1). (retrieved 13 Nov 2012).
  2. Gerard F Wheeler. The Vibrating String Controversy, (retrieved 13 Nov 2012). Am. J. Phys., 1987, v55, n1, p33-37.
  3. For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.
  4. For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)
  5. Eric W. Weisstein. d'Alembert's Solution MathWorld. Visitado em 2009-01-21.
  6. D'Alembert (1747) "Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration" (Researches on the curve that a tense cord forms [when] set into vibration), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, vol. 3, pages 214-219.
  7. http://www.sbmac.org.br/tema/seletas/docs/v11_1/Couto.pdf


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