Equação de Binet

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A equação de Binet prevê a equação de força central, dada a equação da trajetória em coordenadas polares planas. A equação pode também ser utilizada para obter a forma da órbita para uma determinada lei de forças, mas geralmente isso envolve a solução de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem não-linear. Não existe solução única no caso do movimento circular sobre o centro de força.

A equação[editar | editar código-fonte]

A forma de uma órbita é muitas vezes convenientemente descrita em termos da distância relativa r em função do ângulo \theta. Para a equação de Binet, a trajetória é descrita de forma mais concisa pelo parâmetro u=1/r em função de \theta. Defina o momento angular específico como h=L/m, onde L é o momento angular e m a massa. A equação de Binet[1] é

F(u)=-mh^{2}u^{2}\left(\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^{2}}+u\right).

Demonstração[2] [editar | editar código-fonte]

A segunda lei de Newton para o problema de forças centrais é

F(r)=m(\ddot{r}-r\dot{\theta }^{2}).

A conservação do momento angular requer que

r^{2}\dot{\theta }=h=constante.

As derivadas de r em relação ao tempo podem ser reescritas como as derivadas de u em relação ao ângulo:

\begin{align}
 &\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta }=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{r}\right)\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta }=-\frac{{\dot{r}}}{r^{2}\dot{\theta }}=-\frac{{\dot{r}}}{h} \\ 
 & \frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^{2}}=-\frac{1}{h}\frac{\mathrm{d}\dot{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta }=-\frac{{\ddot{r}}}{h\dot{\theta }}=-\frac{{\ddot{r}}}{h^{2}u^{2}} \\
\end{align}

Combinando as equações acima, obtemos

F=m(\ddot{r}-r\dot{\theta }^2)=-m\left(h^{2}u^{2}\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^{2}}+h^{2}u^{3}\right)=-mh^{2}u^{2}\left(\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^{2}}+u\right)

Aplicações[editar | editar código-fonte]

O problema de Kepler[editar | editar código-fonte]

O tradicional problema de Kepler da determinação da trajetória para uma lei de forças de quadrado inverso pode ser obtido da equação de Binet como a solução da equação diferencial

\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^{2}}+u=constante>0.

Se o ângulo \theta é medido a partir do periélio, então a solução geral para a trajetória, expressa em coordenadas polares é

l u =1 + \varepsilon \cos\theta.

A equação polar acima descreve uma seção cônica, onde l é o semi-latus rectum e \varepsilon é a excentricidade da órbita.

A equação relativística nas coordenadas de Schwarzschild é[3]

\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^{2}}+u=\frac{r_s c^{2}}{2 h^{2}}+\frac{3 r_s}{2}u^{2},

onde c é a velocidade da luz e r_s é o raio de Schwarzschild. Utilizando a métrica de Reissner-Nordström, obtemos

\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^{2}}+u=\frac{r_s c^{2}}{2 h^{2}}+\frac{3 r_s}{2}u^{2}-\frac{G Q^{2}}{4 \pi \varepsilon_0 c^{4}}\left(\frac{c^{2}}{h^{2}}u+2u^3\right)

Onde Q é a carga elétrica e \varepsilon_0 a permissividade do vácuo.

O problema de Kepler inverso[editar | editar código-fonte]

Considere o problema de Kepler inverso. Que tipo de lei da forças produz uma órbita elíptica (ou, de forma mais geral, uma cônica não-circular) em torno de um foco dessa elipse?

Diferenciando duas vezes a equação polar da elipse, obtemos

l \, \frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^{2}} = - \varepsilon \cos \theta.

Assim, a lei de forças é

F=-mh^{2}u^{2}\left(\frac{- \varepsilon \cos \theta}{l}+\frac{1 + \varepsilon \cos \theta}{l}\right)=-\frac{m h^2 u^2}{l}=-\frac{m h^2}{l r^2},

que é a lei do inverso do quadrado das distâncias. Se igualarmos a constante orbital h^2/l aos valores físicos GM ou k_e q_1 q_2/m, obtemos a lei da gravitação universal de Newton ou a lei de Coulomb, respectivamente.

Espirais hiperbólicas[editar | editar código-fonte]

Uma lei da força inversamente proporcional ao cubo das distâncias tem a forma

F(r)=-\frac{k}{r^3}.

As formas das órbitas para uma lei do cubo inverso são conhecidas como espirais hiperbólicas. A equação de Binet mostra que as órbitas devem ser soluções da equação

\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^{2}}+u=\frac{k u}{m h^2} = C u.

A equação diferencial possui três soluções, em analogia com as diferentes secções cônicas do problema de Kepler. Se C<1, a solução é a epispiral, incluindo o caso degenerado de duas retas quando C=0. Se C=1, a solução é a espiral hiperbólica. Se C>1, a solução é a espiral logarítmica.

Movimento circular fora de eixo[editar | editar código-fonte]

Embora a equação de Binet falha ao fornecer uma única lei de forças para o movimento circular em torno do centro de forças, ela pode fornecer uma lei de forças quando o centro do círculo e o centro de força não coincidem. Considere, por exemplo, uma órbita circular que passa diretamente pelo centro de força. A equação polar para este tipo de órbita circular de diâmetro D é

D \, u(\theta)= \sec \theta.

Diferenciando u duas vezes e utilizando a fórmula fundamental da trigonometria, obtemos:

D \, \frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^{2}}=\sec \theta \tan^2 \theta + \sec^3 \theta = \sec \theta (\sec^2 \theta - 1) + \sec^3 \theta = 2 D^3 u^3-D \, u.

Assim, a lei de forças é

F = -mh^2u^2 \left( 2 D^2 u^3- u + u\right) = -2mh^2D^2u^5 = -\frac{2mh^2D^2}{r^5}.

Note que a solução geral do problema inverso, ou seja, a construção das órbitas para uma uma lei de forças de atração proporcional a 1/r^5, é um problema muito mais complicado, já que é equivalente a resolver

\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta ^{2}}+u=Cu^3,

que é uma equação diferencial de segunda ordem não-linear.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

Referências