Equação de Euler-Cauchy

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Nota: Para outros sentidos, procure equação de euler.

A equação de Euler é uma equação diferencial ordinária linear com coeficientes constantes. É uma ferramenta importante na busca de extremos para um funcional [1] .

Forma[editar | editar código-fonte]

A equação tem a forma:

x^ny^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\ldots + a_1xy'(x)+a_0y(x)=f(x)\,

onde y(x)\, é a incógnita, y'(x)\, é a derivada de y(x)\, em relação a x\,, y^{(n)}(x)\, é a n-ésima derivada de y(x)\, em relação a x\,. Os coeficientes a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}\, são dados.

Em geral, a equação de Euler é uma equação diferencial não linear que não possui solução analítica e necessita de um tratamento numérico[1] .

Solução da equação homogênea[editar | editar código-fonte]

A equação pode ser transformada em uma equação diferencial ordinária linear com coeficientes variáveis através da seguintes mudanças de variável:

  • u=-e^{x},~~x<0\,
  • u=e^{x},~~x>0\,

Equivalentemente, podemos usar a solução teste:

y(x)=x^r\,

que transforma a equação diferencial em uma equação polinomial em r\, de grau n\,. Neste caso, para cada raiz r\, de ordem k\, da equação polinomial, as funções x^r, x^r\ln x,\ldots,x^r\ln^{k-1}x\, são soluções linearmente independentes da equação diferencial.

Referências

  1. a b FLORES, Ana Paula Ximenes. Cálculo Variacional: aspectos teóricos e aplicações. Disponível em; <http://www.rc.unesp.br/igce/pos/mestrado_profissional/Arquivos/Dissertacoes/Ana%20Paula%20Ximenes%20Flores.pdf>. Acesso em 9 de julho de 2011. Capítulo 3.

Ver também[editar | editar código-fonte]