Equação de Euler-Cauchy

Nota: Para outros sentidos, procure equação de euler.

A equação de Euler é uma equação diferencial ordinária linear com coeficientes constantes. É uma ferramenta importante na busca de extremos para um funcional .

Forma

A equação tem a forma:

$x^ny^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\ldots + a_1xy'(x)+a_0y(x)=f(x)\,$

onde $y(x)\,$ é a incógnita, $y'(x)\,$ é a derivada de $y(x)\,$ em relação a $x\,$, $y^{(n)}(x)\,$ é a n-ésima derivada de $y(x)\,$ em relação a $x\,$. Os coeficientes $a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}\,$ são dados.

Em geral, a equação de Euler é uma equação diferencial não linear que não possui solução analítica e necessita de um tratamento numérico .

Solução da equação homogênea

A equação pode ser transformada em uma equação diferencial ordinária linear com coeficientes variáveis através da seguintes mudanças de variável:

• $u=-e^{x},~~x<0\,$
• $u=e^{x},~~x>0\,$

Equivalentemente, podemos usar a solução teste:

$y(x)=x^r\,$

que transforma a equação diferencial em uma equação polinomial em $r\,$ de grau $n\,$. Neste caso, para cada raiz $r\,$ de ordem $k\,$ da equação polinomial, as funções $x^r, x^r\ln x,\ldots,x^r\ln^{k-1}x\,$ são soluções linearmente independentes da equação diferencial.

Ver também

• Augustin-Louis Cauchy