Equação de Langevin

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Em física estatística, uma equação de Langevin é uma equação diferencial estocástica que descreve o movimento browniano num potencial.

As primeiras equações de Langevin que foram estudadas foram aquelas em que o potencial é constante, de forma que a aceleração {a} de una partícula browniana de massa m se expressa como a soma da força viscosa que é proporcional à velocidade da partícula {v} (lei de Stokes), um termo de ruído \mathbf\eta(t) que representa o efeito de uma série continua de choques com os átomos do fluido que forma o meio e {F(x)} que é a força de interacção sistemática produzida pelas interacções intramoleculares e intermoleculares:

m\mathbf{a} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = F(\mathbf{x}) - \beta \mathbf{v} + \eta(t).

Equações essencialmente similares aplicam-se a outros sistemas brownianos, tais como e ruido térmico numa resistência eléctrica:

L  \frac{d I(t)}{dt} = -R I(t) + v(t).

Podem obter numerosos resultados interessantes, mesmo sem resolver a equação de Langevin, a partir do teorema de flutuação-dissipação.

O método principal para se encontrar uma solução, se é que seja requerida uma solução, é utilizar a equação de Fokker-Planck, que providencia uma equação determinística que é satisfeita pela densidade de probabilidade dependente do tempo. Soluções numéricas alternativas podem-se obter mediante simulação de Monte Carlo. Outras teçnica têm também sido utilizadas, que se baseiam na analogia entre física estatística e mecânica quântica (por exemplo, a equação de Fokker-Planck pode ser transformada na equação de Schrödinger se se transformarem algumas variáveis).

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • The Langevin Equation, With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering (Second Edition), by W T Coffey (Trinity College, Dublin, Ireland), Yu P Kalmykov (Université de Perpignan, France) & J T Waldron (Trinity College, Dublin, Ireland).
  • World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics - Vol 14. (The First Edition is Vol 10).
  • Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw Hill New York, 1965. See section 15.5 Langevin Equation.