Equação de Laplace

Equação de Laplace, em matemática, é uma equação diferencial parcial cujo nome honra seu criador, Pierre Simon Laplace. Trata-se de uma equação diferencial de alta relevância, pois é descritora modelar de comportamentos em vários campos da ciência, como, por exemplo, a astronomia, o eletromagnetismo, a mecânica dos fluidos, formulando-lhes as funções potencial gravitacional, elétrica, fluídica, entre outras aplicações. Com efeito, a teoria geral de soluções para a equação de Laplace é conhecida como teoria do potencial.

Definição

Em três dimensões, o problema consiste em determinar funções reais $\scriptstyle f$ duplamente diferenciáveis, de variáveis reais x, y e z, tais que:

- em coordenadas cartesianas

${\partial^2 f\over \partial x^2 } + {\partial^2 f\over \partial y^2 } + {\partial^2 f\over \partial z^2 } = 0.$

- em coordenadas cilíndricas,

${1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho} \left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right) + {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2 } =0$

- em coordenadas esféricas,

${1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \varphi} {\partial \over \partial \varphi} \left( \sin \varphi {\partial f \over \partial \varphi} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \varphi} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} =0$

Isso é frequentemente escrito como

$\nabla^2 f = 0 \,$

onde $\scriptstyle \nabla^2$ é o laplaciano, ou

$\nabla \cdot \nabla f = 0\,$

onde $\scriptstyle \nabla \cdot$ é o divergente e $\scriptstyle \nabla$ é o gradiente, ou ainda

$\Delta f = 0\,$

onde Δ é outra forma de representar o laplaciano.

As soluções para a equação de Laplace são chamadas funções harmônicas.

Quando acrescentamos ao lado direito dessa equação uma dada função g(x, y, z), isto é, se a equação for escrita como

$\Delta f = g\,$

então ela é chamada de "Equação de Poisson".

A equação de Laplace e a equação de Poisson são os exemplos mais simples de equações elípticas em derivadas parciais, sendo que o operador diferencial parcial, o laplaciano, $\scriptstyle\nabla^2$ ou $\scriptstyle\Delta$ pode ser definido em qualquer número de dimensões.

Condições de contorno

A equação de Laplace deve ser complementada com condições de contorno.

Problema de Dirichlet

O caso mais simples é quando o valor da função é especificado sobre o contorno especificado a seguir$\partial D$ do domínio $D$:

$\begin{array}{rclcl} \triangle \varphi &=& 0,\quad & x\in D\\ \varphi&=&g,& x\in \partial D \end{array}.$

Problema de Neumann

Neste caso o valor da derivada normal da função é especificado sobre o contorno:

$\begin{array}{rclcl} \triangle \varphi &=& 0,\quad & x\in D\\ \frac{\partial}{\partial\eta}\varphi&=&g,& x\in \partial D \end{array}.$

Uma condição de existência pode ser encontrada integrando a equação em todo o domínio D e aplicando a primeira identidade de Green:

$0=\int_D 0 dx = \int_D \triangle \varphi dx = \int_{\partial D} \frac{\partial}{\partial\eta} \varphi d S(x)= \int_{\partial D} g d S(x)$

Ver também

• Equação de Poisson