Equação de Laplace

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Equação de Laplace, em matemática, é uma equação diferencial parcial cujo nome honra seu criador, Pierre Simon Laplace. Trata-se de uma equação diferencial elíptica de alta relevância, pois é descritora modelar de comportamentos em vários campos da ciência, como, por exemplo, a astronomia, o eletromagnetismo, a mecânica dos fluidos, formulando-lhes as funções potencial gravitacional, elétrica, fluídica, entre outras aplicações. Com efeito, a teoria geral de soluções para a equação de Laplace é conhecida como teoria do potencial.

Definição[editar | editar código-fonte]

Em um conjunto aberto {\textstyle U\subset \mathbb{R}^n}, a equação de Laplace é definida por[1] :

\Delta f = 0

onde, \Delta denota o operador de Laplace (ou, laplaciano):

\Delta f := \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2 }

Aqui, a incógnita {\textstyle f} é uma função de {\textstyle U\subset \mathbb{R}^n} em {\textstyle \mathbb{R}.} Uma tal função {\textstyle f} é dita ser harmônica, se é solução da equação de Laplace e é duas vezes continuamente diferenciável, i.e. {\textstyle \Delta f = 0} e {\textstyle f\in C^2(U,~\mathbb{R})}. Em muitos textos, o operador laplaciano é denotado por {\textstyle \nabla^2}. Esta notação é motivada pelo fato de que {\textstyle \Delta = \nabla \cdot \nabla}, onde {\textstyle \nabla} denota o gradiente.

Definição em {\textstyle \mathbb{R}^2}[editar | editar código-fonte]

Em duas dimensões, i.e. no espaço euclidiano {\textstyle \mathbb{R}^2}, a equação de Laplace toma a forma[2] (em coordenadas cartesianas):

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0

Em coordenadas polares {\textstyle (r,~\theta)}, a equação torna-se:

\frac{\partial^2 g}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial g}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 g}{\partial \theta^2} = 0

Para obter esta equação faz-se as mudanças de variáveis {\textstyle x = r\text{cos }\theta}, {\textstyle y = r\text{sen }\theta} e {\textstyle g(r,\theta) = f(r\text{cos }\theta , r\text{sen }\theta)}.

Definição em {\textstyle \mathbb{R}^3}[editar | editar código-fonte]

Em três dimensões, o problema consiste em determinar funções reais {\textstyle f} duplamente diferenciáveis, de variáveis reais {\textstyle x}, {\textstyle y} e {\textstyle z}, tais que:

- em coordenadas cartesianas


{\partial^2 f\over \partial x^2 } +
{\partial^2 f\over \partial y^2 } +
{\partial^2 f\over \partial z^2 } = 0.

- em coordenadas cilíndricas,

  {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
  \left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right) 
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 } =0

- em coordenadas esféricas,

  {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \varphi} {\partial \over \partial \varphi}
  \left( \sin \varphi {\partial f \over \partial \varphi} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \varphi} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} =0

Solução fundamental[editar | editar código-fonte]

A função {\textstyle \Phi : \mathbb{R}^n-\{0\} \to \mathbb{R}} definida por:

\Phi(x) = \left\{ \begin{array}{rr}- \frac{1}{2\pi} \ln |x| &, n=2 \\ \frac{1}{n(n-2)\alpha(n)}\frac{1}{|x|^{n-2}} &, n\geq 3 \end{array}\right.

é chamada de solução fundamental da equação de Laplace.[1] Aqui, {\textstyle \alpha(n)} denota o volume da bola unitária em {\textstyle \mathbb{R}^n}. Verifica-se, por substituição direta, que {\textstyle \Delta \Phi = 0} em {\textstyle \mathbb{R}^n-\{0\}}.

Condições de contorno[editar | editar código-fonte]

A equação de Laplace deve ser complementada com condições de contorno.

Problema de Dirichlet[editar | editar código-fonte]

Quando como condição de contorno é especificado o valor da função sobre o contorno {\textstyle \partial D} do domínio {\textstyle D}, esta é denominada condição de contorno de Dirichlet:

\begin{array}{rclcl}
\Delta \varphi &=& 0,\quad & x\in D\\
\varphi&=&g,& x\in \partial D
\end{array}.

Unicidade[editar | editar código-fonte]

Como consequência do princípio do máximo forte para funções harmônicas, mostra-se que se {\textstyle D} é conexo, {\textstyle \varphi\in C^2(D)\cap C(\bar{D})} e {\textstyle g\in C(\partial D)} é uma função não-negativa (não-positiva), então {\textstyle \varphi} é não-negativa (não-positiva) em {\textstyle D}. Como consequência, existe no máximo uma solução para o problema de Dirichlet sobre tais hipóteses.[1]

Observamos que a unicidade de solução para o problema de Dirichlet pode ser garantida mesmo sem a hipótese de conexidade sobre {\textstyle D}. Para tanto, veja condição de contorno de Dirichlet para equação de Poisson.

Representação da Solução[editar | editar código-fonte]

Se {\textstyle u\in C^2(\bar{D})} é solução do problema de Dirichlet acima, então:[1]


\varphi(x) = - \int_{\partial D} g(y)\frac{\partial G(x,y)}{\partial \nu}(x,y)\,dS(y)

onde, {\textstyle \nu} é a normal unitária exterior a {\textstyle \partial D} e {\textstyle  \partial G(x,y) / \partial \nu } é a derivada normal da função de Green:


G(x,y) = \Phi(y-x) - \phi^x(y),\quad\forall x,y\in D,~x\neq y.

Aqui, {\textstyle \Phi} é a solução fundamental (veja acima) e, para cada {\textstyle x}, {\textstyle \phi^x = \phi^x(y)} é solução de:


\begin{array}{rclcl}
\Delta \phi^x &=& 0,\quad & x\in D\\
\phi^x &=& \Phi(y-x),& x\in \partial D
\end{array}
Fórmula de Poisson para a bola[editar | editar código-fonte]

A fórmula de representação acima depende da função de Green {\textstyle G(x,y)}. Em alguns casos esta função é conhecida. Se {\textstyle D = B(0,r) = \{x:~\|x\| < r\}}, então:[1]


G(x,y) = \frac{r^2 - \|x\|^2}{n\alpha(n)r}\frac{1}{\|x-y\|^n}

a qual é conhecida como núcleo de Poisson para a bola {\textstyle B(0,r)}. De fato, podemos mostrar que se {\textstyle g\in C(\partial B(0,r))}, então:[1]


\varphi(x) = - \int_{\partial B(0,r)} g(y)\frac{\partial G(x,y)}{\partial \nu}(x,y)\,dS(y) = - \frac{r^2 - \|x\|^2}{n\alpha(n)r}\int_{\partial B(0,r)} \frac{g(y)}{\|x-y\|^n}dS(y),\quad\forall x\in B(0,r)

é solução do problema de Dirichlet no sentido que {\textstyle \Delta \varphi = 0} e:


\lim_{\begin{array}{cc}x\to y\\ x\in B(0,r)\end{array}} \varphi(x) = g(y),\quad\forall y\in \partial B(0,r).


Problema de Neumann[editar | editar código-fonte]

Quando como condição de contorno é especificado a derivada normal função incógnita sobre o contorno {\textstyle \partial D} do domínio {\textstyle D}, esta é denominada condição de contorno de Neumann:

Neste caso o valor da derivada normal da função é especificado sobre o contorno:

\begin{array}{rclcl}
\triangle \varphi &=& 0,\quad & x\in D\\
\frac{\partial}{\partial\eta}\varphi&=&g,& x\in \partial D
\end{array}.

Uma condição de existência pode ser encontrada integrando a equação em todo o domínio {\textstyle D} e aplicando a primeira identidade de Green:

0=\int_D 0 dx = \int_D \triangle \varphi dx = \int_{\partial D} \frac{\partial}{\partial\eta} \varphi d S(x)= \int_{\partial D} g d S(x)

Referências

  1. a b c d e f Evans, Lawrence C.. Partial Differential Equations. 2. ed. [S.l.]: American Mathematical Society, 2010. ISBN 978-0821849743.
  2. Figueiredo, Djairo. Análise de Fourier e equações diferenciais parciais. 2. ed. [S.l.]: IMPA, 1987. ISBN 8524400269.

Ver também[editar | editar código-fonte]


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