Equação de Laplace

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Equação de Laplace, em matemática, é uma equação diferencial parcial cujo nome honra seu criador, Pierre Simon Laplace. Trata-se de uma equação diferencial elíptica de alta relevância, pois é descritora modelar de comportamentos em vários campos da ciência, como, por exemplo, a astronomia, o eletromagnetismo, a mecânica dos fluidos, formulando-lhes as funções potencial gravitacional, elétrica, fluídica, entre outras aplicações. Com efeito, a teoria geral de soluções para a equação de Laplace é conhecida como teoria do potencial.

Definição[editar | editar código-fonte]

Em um conjunto aberto U\subset \mathbb{R}^n, a equação de Laplace é definida por[1] :

\Delta f = 0

onde, \Delta denota o operador de Laplace (ou, laplaciano):

\Delta f := \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2 }

Aqui, a incógnita f é uma função de U\subset \mathbb{R}^n em \mathbb{R}. Uma tal função f é dita ser harmônica, se é solução da equação de Laplace e é duas vezes continuamente diferenciável, i.e. \Delta f = 0 e f\in C^2(U,~\mathbb{R}). Em muitos textos, o operador laplaciano é denotado por \nabla^2. Esta notação é motivada pelo fato de que \Delta = \nabla \cdot \nabla, onde \nabla denota o gradiente.

Definição em \mathbb{R}^2[editar | editar código-fonte]

Em duas dimensões, i.e. no espaço euclidiano \mathbb{R}^2, a equação de Laplace toma a forma[2] (em coordenadas cartesianas):

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0

Em coordenadas polares (r,~\theta), a equação torna-se:

\frac{\partial^2 g}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial g}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 g}{\partial \theta^2} = 0

Para obter esta equação faz-se as mudanças de variáveis x = r\text{cos }\theta, y = r\text{sen }\theta e g(r,\theta) = f(r\text{cos }\theta , r\text{sen }\theta).

Definição em \mathbb{R}^3[editar | editar código-fonte]

Em três dimensões, o problema consiste em determinar funções reais \scriptstyle f duplamente diferenciáveis, de variáveis reais x, y e z, tais que:

- em coordenadas cartesianas


{\partial^2 f\over \partial x^2 } +
{\partial^2 f\over \partial y^2 } +
{\partial^2 f\over \partial z^2 } = 0.

- em coordenadas cilíndricas,

  {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
  \left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right) 
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 } =0

- em coordenadas esféricas,

  {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \varphi} {\partial \over \partial \varphi}
  \left( \sin \varphi {\partial f \over \partial \varphi} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \varphi} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} =0

Solução fundamental[editar | editar código-fonte]

A função \Phi : \mathbb{R}^n-\{0\} \to \mathbb{R} definida por:

\Phi(x) = \left\{ \begin{array}{rr}- \frac{1}{2\pi} \ln |x| &, n=2 \\ \frac{1}{n(n-2)\alpha(n)}\frac{1}{|x|^{n-2}} &, n\geq 3 \end{array}\right.

é chamada de solução fundamental da equação de Laplace.[1] Aqui, \alpha(n) denota o volume da bola unitária em \mathbb{R}^n. Verifica-se, por substituição direta, que \Delta \Phi = 0 em \mathbb{R}^n-\{0\}.

Condições de contorno[editar | editar código-fonte]

A equação de Laplace deve ser complementada com condições de contorno.

Problema de Dirichlet[editar | editar código-fonte]

Quando como condição de contorno é especificado o valor da função sobre o contorno \partial D do domínio D, esta é denominada condição de contorno de Dirichlet:

\begin{array}{rclcl}
\Delta \varphi &=& 0,\quad & x\in D\\
\varphi&=&g,& x\in \partial D
\end{array}.

Como consequência do princípio do máximo forte para funções harmônicas, mostra-se que se D é conexo, \varphi\in C^2(D)\cap C(\bar{D}) e g\in C(\partial D) é uma função não-negativa (não-positiva), então \varphi é não-negativa (não-positiva) em D. Como consequência, existe no máximo uma solução para o problema de Dirichlet sobre tais hipóteses[1] .

Problema de Neumann[editar | editar código-fonte]

Quando como condição de contorno é especificado a derivada normal função incógnita sobre o contorno \partial D do domínio D, esta é denominada condição de contorno de Neumann:

Neste caso o valor da derivada normal da função é especificado sobre o contorno:

\begin{array}{rclcl}
\triangle \varphi &=& 0,\quad & x\in D\\
\frac{\partial}{\partial\eta}\varphi&=&g,& x\in \partial D
\end{array}.

Uma condição de existência pode ser encontrada integrando a equação em todo o domínio D e aplicando a primeira identidade de Green:

0=\int_D 0 dx = \int_D \triangle \varphi dx = \int_{\partial D} \frac{\partial}{\partial\eta} \varphi d S(x)= \int_{\partial D} g d S(x)

Referências

  1. a b c Evans, Lawrence C.. Partial Differential Equations. 2 ed. [S.l.]: American Mathematical Society, 2010. ISBN 978-0821849743
  2. Figueiredo, Djairo. Análise de Fourier e equações diferenciais parciais. 2 ed. [S.l.]: IMPA, 1987. ISBN 8524400269

Ver também[editar | editar código-fonte]


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