Equação de Laplace

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Equação de Laplace, em matemática, é uma equação diferencial parcial cujo nome honra seu criador, Pierre Simon Laplace. Trata-se de uma equação diferencial de alta relevância, pois é descritora modelar de comportamentos em vários campos da ciência, como, por exemplo, a astronomia, o eletromagnetismo, a mecânica dos fluidos, formulando-lhes as funções potencial gravitacional, elétrica, fluídica, entre outras aplicações. Com efeito, a teoria geral de soluções para a equação de Laplace é conhecida como teoria do potencial.

Definição[editar | editar código-fonte]

Em três dimensões, o problema consiste em determinar funções reais \scriptstyle f duplamente diferenciáveis, de variáveis reais x, y e z, tais que:

- em coordenadas cartesianas


{\partial^2 f\over \partial x^2 } +
{\partial^2 f\over \partial y^2 } +
{\partial^2 f\over \partial z^2 } = 0.

- em coordenadas cilíndricas,

  {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
  \left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right) 
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 } =0

- em coordenadas esféricas,

  {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \varphi} {\partial \over \partial \varphi}
  \left( \sin \varphi {\partial f \over \partial \varphi} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \varphi} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} =0

Isso é frequentemente escrito como

\nabla^2 f = 0 \,

onde \scriptstyle \nabla^2 é o laplaciano, ou

\nabla \cdot \nabla f = 0\,

onde \scriptstyle \nabla \cdot é o [[|divergência|divergente]] e \scriptstyle \nabla é o gradiente, ou ainda

\Delta f = 0\,

onde Δ é outra forma de representar o laplaciano.

As soluções para a equação de Laplace são chamadas funções harmônicas.

Quando acrescentamos ao lado direito dessa equação uma dada função g(x, y, z), isto é, se a equação for escrita como

\Delta f = g\,

então ela é chamada de "Equação de Poisson".

A equação de Laplace e a equação de Poisson são os exemplos mais simples de equações elípticas em derivadas parciais, sendo que o operador diferencial parcial, o laplaciano, \scriptstyle\nabla^2 ou \scriptstyle\Delta pode ser definido em qualquer número de dimensões.

Solução fundamental[editar | editar código-fonte]

A função \Phi : \mathbb{R}^n-\{0\} \to \mathbb{R} definida por:

\Phi(x) = \left\{ \begin{array}{rr}- \frac{1}{2\pi} \ln |x| &, n=2 \\ \frac{1}{n(n-2)\alpha(n)}\frac{1}{|x|^{n-2}} &, n\geq 3 \end{array}\right.

é chamada de solução fundamental da equação de Laplace[1] . Aqui, \alpha(n) denota o volume da bola unitária em \mathbb{R}^n.

Usando esta solução fundamental, pode-se obter uma solução clássica para a equação de Poisson em n domensões:

-{\Delta} f = g

supondo g\in C^2_c(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}), i.e. g é duas vezes continuamente diferenciável com suporte compacto. Neste caso, a solução é dada por[1] :

f(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \Phi(x-y) f(y) dy.

Condições de contorno[editar | editar código-fonte]

A equação de Laplace deve ser complementada com condições de contorno.

Problema de Dirichlet[editar | editar código-fonte]

O caso mais simples é quando o valor da função é especificado sobre o contorno especificado a seguir\partial D do domínio D:

\begin{array}{rclcl}
\triangle \varphi &=& 0,\quad & x\in D\\
\varphi&=&g,& x\in \partial D
\end{array}.

Problema de Neumann[editar | editar código-fonte]

Neste caso o valor da derivada normal da função é especificado sobre o contorno:

\begin{array}{rclcl}
\triangle \varphi &=& 0,\quad & x\in D\\
\frac{\partial}{\partial\eta}\varphi&=&g,& x\in \partial D
\end{array}.

Uma condição de existência pode ser encontrada integrando a equação em todo o domínio D e aplicando a primeira identidade de Green:

0=\int_D 0 dx = \int_D \triangle \varphi dx = \int_{\partial D} \frac{\partial}{\partial\eta} \varphi d S(x)= \int_{\partial D} g d S(x)

Referências

  1. a b Evans, Lawrence C.. Partial Differential Equations. 2 ed. [S.l.]: American Mathematical Society, 2010. ISBN 978-0821849743

Ver também[editar | editar código-fonte]


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