Equação de continuidade

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Em física, uma equação de continuidade expressa uma lei de conservação de forma matemática, tanto de forma integral como de forma diferencial.

Geral[editar | editar código-fonte]

A fórmula geral para uma equação de continuidade é

\frac{\partial \varphi}{\partial t} + \nabla \cdot (\varphi \vec{v}) = s

onde \scriptstyle\varphi é qualquer quantidade, \vec{v} é a velocidade do fluido e s descreve a geração (ou remoção) de \scriptstyle\varphi. Esta equação pode ser derivada por considerar os fluxos em um compartimento infinitesimal. Esta equação geral deve ser usada para derivar qualquer equação de continuidade, desde uma simples como a equação de continuidade de um volume a complicadas como as equações de Navier-Stokes. Esta equação também generaliza a equação de advecção.

Teoria eletromagnética[editar | editar código-fonte]

Em teoria eletromagnética, a equação de continuidade vem derivada de duas das equações de Maxwell. Estabelece que a divergência da densidade de corrente é igual ao negativo da derivada da densidade de carga respectiva ao tempo.

A densidade da corrente é o movimento de densidade de carga. A equação da continuidade diz que se a carga se move para fora de um volume diferencial (isto é, a divergência da densidade de corrente é positivo), então a quantidade de carga no interior desse volume vai diminuir, portanto, a taxa de variação da densidade de carga é negativa. Portanto, a equação da continuidade mostra que existe conservação da carga.

Em outras palavras, só poderia haver um fluxo de corrente se a quantidade de carga varia com o passar do tempo, já que está diminuindo ou aumentando em proporção à carga que é usada para alimentar tal corrente.

 \nabla \cdot \vec{J} = - {\partial \rho \over \partial t}

Esta equação estabelece a conservação da carga.

Mecânica de fluidos[editar | editar código-fonte]

Em mecânica de fluidos, uma equação de continuidade é uma equação de conservação da massa. Sua forma diferencial é:

 {\partial \rho \over \partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{u}) = 0

onde  \rho é a massa especifica, t o tempo e \vec{u} a velocidade do fluido.

É uma das três Equações de Euler (fluidos).

Mecânica quântica[editar | editar código-fonte]

Em mecânica quântica, a conservação de probabilidade também resulta uma equação de continuidade. Resultando P(xt) ser uma função densidade de probabilidade e escreve

 \nabla \cdot \mathbf{j} = -{ \partial \over \partial t} P(x,t)

onde J é fluxo de probabilidade.

Quadricorrentes[editar | editar código-fonte]

A conservação de uma corrente (não necessariamente uma corrente eletromagnética) é expressa compactamente como a divergência do invariante de Lorentz de uma quadricorrente:

J^a = \left(c \rho, \mathbf{j} \right)

onde

c é a velocidade da luz
ρ a densidade de carga
j a convencional densidade de corrente.
a define a dimensão do espaço-tempo

de modo que desde

\partial_a J^a = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j}

então

\partial_a J^a = 0

implica que a corrente é conservada:

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0

Ver também[editar | editar código-fonte]


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(em espanhol)


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