Equação de continuidade

Em física, uma equação de continuidade expressa uma lei de conservação de forma matemática, tanto de forma integral como de forma diferencial.

Geral

A fórmula geral para uma equação de continuidade é

$\frac{\partial \varphi}{\partial t} + \nabla \cdot (\varphi \vec{v}) = s$

onde $\scriptstyle\varphi$ é qualquer quantidade, $\vec{v}$ é a velocidade do fluido e s descreve a geração (ou remoção) de $\scriptstyle\varphi$. Esta equação pode ser derivada por considerar os fluxos em um compartimento infinitesimal. Esta equação geral deve ser usada para derivar qualquer equação de continuidade, desde uma simples como a equação de continuidade de um volume a complicadas como as equações de Navier-Stokes. Esta equação também generaliza a equação de advecção.

Teoria eletromagnética

Em teoria eletromagnética, a equação de continuidade vem derivada de duas das equações de Maxwell. Estabelece que a divergência da densidade de corrente é igual ao negativo da derivada da densidade de carga respectiva ao tempo.

A densidade da corrente é o movimento de densidade de carga. A equação da continuidade diz que se a carga se move para fora de um volume diferencial (isto é, a divergência da densidade de corrente é positivo), então a quantidade de carga no interior desse volume vai diminuir, portanto, a taxa de variação da densidade de carga é negativa. Portanto, a equação da continuidade mostra que existe conservação da carga.

Em outras palavras, só poderia haver um fluxo de corrente se a quantidade de carga varia com o passar do tempo, já que está diminuindo ou aumentando em proporção à carga que é usada para alimentar tal corrente.

$\nabla \cdot \vec{J} = - {\partial \rho \over \partial t}$

Esta equação estabelece a conservação da carga.

Mecânica de fluidos

Em mecânica de fluidos, uma equação de continuidade é uma equação de conservação da massa. Sua forma diferencial é:

${\partial \rho \over \partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{u}) = 0$

onde $\rho$ é a densidade, $t$ o tempo e $\vec{u}$ a velocidade do fluido.

É uma das três Equações de Euler (fluidos).

Mecânica quântica

Em mecânica quântica, a conservação de probabilidade também resulta uma equação de continuidade. Resultando P(x, t) ser uma função densidade de probabilidade e escreve

$\nabla \cdot \mathbf{j} = -{ \partial \over \partial t} P(x,t)$

onde J é fluxo de probabilidade.

Quadricorrentes

A conservação de uma corrente (não necessariamente uma corrente eletromagnética) é expressa compactamente como a divergência do invariante de Lorentz de uma quadricorrente:

$J^a = \left(c \rho, \mathbf{j} \right)$

onde

c é a velocidade da luz

ρ a densidade de carga

j a convencional densidade de corrente.

a define a dimensão espaço-tempo

de modo que desde

$\partial_a J^a = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j}$

então

$\partial_a J^a = 0$

implica que a corrente é conservada:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0$

Ver também

• Lei de conservação
• Equações de Euler referentes à Mecânica de Fluidos
• Fluido incompressível
• Equação de Schrödinger
• Função densidade

(em espanhol)