Equação de convecção-difusão

A equação de convecção-difusão é uma equação parabólica em derivadas parciais, a qual descreve o fenômeno físico onde partículas ou energia (ou outras grandezas físicas) são transferidas dentro de um sistema devido a dois processos: difusão e convecção. Nesta forma mais simples (quando o coeficiente de difusão e a velocidade de convecção são constantes e não há fontes ou fugas) a equação toma a forma :

$\big. \frac{\partial c}{\partial t} = D\, \nabla ^2 c - \vec{v} \cdot \nabla c.$

Os dois termos no lado direito representam processos físicos diferentes: o primeiro corresponde a difusão normal enquanto o segundo descreve convecção ou advecção – o qual é o motivo pelo qual a equação é também conhecida como a equação de advecção-difusão. Além disso c é a variável de interesse, a constante D é o coeficiente de difusão, e $\vec{v}$ é a velocidade.

Derivação

A equação de convecção-difusão pode ser derivada em uma forma simplificada da equação de continuidade, a qual estabelece que a taxa de alteração para uma grandeza escalar em um volume de controle diferencial é dado por fluxo e difusão dentro e fora da parte do sistema, juntamente com toda a geração ou o consumo dentro do volume de controle:

$\frac{\partial c}{\partial t} + \nabla\cdot\vec{j} = s,$

onde $\vec{j}$ é o fluxo total e s é uma fonte volumétrica líquida (resultado de balanço) para c. Na ausência de fluxo físico, este fluxo pode ser descrito através da fenomenológica primeira lei de Fick, a qual assume que o fluxo de material em difusão em qualquer parte do sistema é proporcional ao gradiente local. Quando há convecção ou fluxo, o fluxo total é dado pela soma do fluxo difusivo e que é conhecido como o fluxo convectivo $\vec{v}\, c$.

Combinando-se estes dois termos o fluxo total torna-se:

$\vec{j}=-D\,\nabla c + \vec{v} c.$

A substituição desta equação na equação de continuidade dá a forma geral da equação de convecção–difusão:

$\frac{\partial c}{\partial t} + \nabla\cdot \left(\vec{-D\,\nabla c + \vec{v}\, c}\right) = s.$

Referências

• Granville Sewell, The Numerical Solution of Ordinary and Partial Differential Equations, Academic Press (1988). ISBN 0-12-637475-9
• Armando de Oliveira Fortuna; TECNICAS COMPUTACIONAIS PARA DINAMICA DOS FLUIDOS: CONCEITOS BÁSICOS E APLICAÇÕES; EdUSP, 2000 - 426 páginas

Ver também

• Equação de difusão
• Equação Nernst–Planck