Equação diferencial parcial

Um equação diferencial parcial ou equação de derivadas parciais (EDP) é uma equação envolvendo várias funções incógnita de várias variáveis independentes e dependente de suas derivadas. Estas equações surgem naturalmente em problemas de física matemática, física e engenharia. O estudo das equações diferenciais parciais é uma das áreas com mais intensa pesquisa em matemática, despertando interesse também em contextos de matemática pura.

EDPs descrevem fenômenos físicos cujo comportamento depende da posição, tais como eletrostática, eletrodinâmica, eletromagnetismo, dinâmica dos fluidos, difusão do calor, propagação de ondas. Muitas vezes, fenômenos físicos totalmente distintos podem ser modelados por EDPs idênticas.

Exemplos

Um problema simples de EDP consiste em buscar uma solução suave $u(x,y):[0,1]\times[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ satisfazendo:

$\frac{\partial u}{\partial x}=1\hbox{ em }(0,1)\times(0,1)$

$\frac{\partial u}{\partial y}=0\hbox{ em }(0,1)\times(0,1)$

$u(x,y)=1\hbox{ em }\{x=0\}\times[0,1]$

que admite solução $u(x,y)=x+1$

O próximo exemplo é um caso particular da equação do transporte:

$\frac{\partial u}{\partial t}+v(t)\frac{\partial u}{\partial x} = 0, t>0$

$u(x,t)=f(x), ~t=0\$

onde $f(x)$ é uma função classe $C^1$ e $v(t)$ é uma função contínua dada e $u(x,t)$ é a incógnita. A solução desta equação é dada por:

$u(x,t)=f\left(x+\int_0^t v(\tau)d\tau\right), t>0$

Notação

Existem muitas diferentes maneiras de expressar as EDPs, não sendo raro a mesma notação ter significados diferentes para autores diferentes.

Notações bastante difundidas são para a derivada temporal são:

$\frac{\partial u}{\partial t} =\partial_t u =u_t = u'$

Mais prolixas são as notações para as derivadas espaciais. Se $u:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$, onde $\mathbf{x}=\left(x_1,\ldots,x_n\right)$ então também são usadas as notações por operadores:

$\nabla u = \left(\frac{\partial u}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial u}{\partial x_n}\right)$: Gradiente

$\nabla^2u=\triangle u = \sum_{i=1}^n\frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}$: Laplaciano

Assim, a equação $T_t + \mathbf{v}\cdot \left(\nabla T\right) = \triangle T$, onde $\mathbf{v}$ é um campo de vetores dado em $\mathbf{R}^n$ significa:

$\frac{\partial T}{\partial t} + \sum_{i=1}^n v_i \frac{\partial T}{\partial x_i}=\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 T}{\partial x_i^2}$

Em problemas envolvendo fluxo de fluidos, é constume definir a derivada material:

$\frac{Du}{Dt}= \frac{\partial u}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot(\nabla u)$ onde $\mathbf{v}$ é campo de velocidades do fluido.

Classificações

Quanto à ordem

A ordem de uma equação diferencial parcial será dada pela ordem da mais alta derivada encontrada na equação:

$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+5 \frac{\partial u}{\partial y}+3u=0$

EDP de segunda ordem

Quanto à linearidade

Uma EDP linear de 2ª ordem, com 2 variáveis independentes, tem a forma:

$a(x,y)\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+2b(x,y)\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}+c(x,y)\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+d(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+e(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}+f(x,y)u=\delta (x,y)\quad\quad (1)$

Exemplos

${\partial u \over \partial t}-a \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$

EDP linear (Equação da difusão linear)

$\frac{\partial u}{\partial t} + a\frac{\partial u}{\partial x}=0$

EDP linear (Equação da convecção linear)

$(1-u)\frac{\partial u}{\partial x}+2u=e^y\$

EDP não linear devido ao termo não linear (1-u) dependente de u

$\frac{\partial u}{\partial x}+\cos{u}=0\$

EDP nao linear devido à função não linear cos(u)

Quanto à homogeneidade

Se na equação (1), $\delta (x,y)=0$, a EDP é homogênea.

Classificação de EDP's de 2ª ordem

As equações diferenciais parciais (EDP) de 2ª ordem podem ser classificadas em três tipos: hiperbólicas, parabólicas e elípticas. Se a solução de um problema for descrito pela variável u = u(x,y), a EDP que expressa a relação entre u e as variáveis independentes x e y pode ser escrita, genericamente, como :

$au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy}+du_x+eu_y+fu=g\,$

na qual a, b, c, d, f e g são constantes ou funções das variáveis independentes x e y. Os coeficientes a, b e c são tais que:

$a^2+b^2+c^2\neq 0$

Se os coeficientes a, b e c forem constantes, pode-se classificar as EDPs lineares de forma análoga às curvas cônicas tridimensionais, através das seguintes relações:

• EDPs hiperbólicas: $b^2-4ac>0$, raízes reais e distintas.
• EDPs parabólicas: $b^2-4ac=0$, raízes reais e idênticas.
• EDPs elípticas: $b^2-4ac<0$, raízes conjugadas complexas.

A classificação das EDPs nos três grupos representativos tem importância na sua análise teórica, na descrição de métodos numéricos e nas aplicações. A tabela a seguir mostra as principais EDP's de 2ª ordem e suas respectivas classificações:

Nome	Classificação	Equação
Equação de Laplace	elíptica	$u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0$
Equação de Poisson	elíptica	$u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=c$
Equação de Fourier	parabólica	$\alpha (u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})-u_t=0$
Equação da onda	hiperbólica	$c^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})-u_{tt}=0$

Equações da física

Equação de Poisson

A equação de Poisson descreve o potencial elétrico em eletrostática. Também modela estados estacionários (sem variação no tempo) da equação do calor.

$\Delta u=f(x)\,$

Equação do calor

A equação do calor que modela a condução térmica em um sólido homogêneo e isotrópico tem a forma:

$u_t=a\Delta u\,$

Equação da onda

A equação da onda modela a propagação de ondas em um meio homogêneo e isotrópico e não-dissipativo é:

$u_{tt}=c^2\Delta u\,$, $c\,$ é a velocidade de propagação.

Equação da indução

A equação da indução descreve a evolução campo magnético $\mathbf{B}$ em um plasma cuja velocidade é dada pelo campo vetorial $\mathbf{v}$:

$\mathbf{B}_{t}=\nabla\times\left(\mathbf{v}\times\mathbf{B}\right) - \nabla\times\left(\eta\nabla\times\mathbf{B}\right)$

$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$

Equação de Burgers

A equação de Burgers modela processos convectivos unidimensionais:

$u_t + \frac{\partial}{\partial x}\left(f(x)u\right)^2 = f(x,t)$

Ver também

• Equações diferenciais