Equação de transporte de Boltzmann

Desenvolvida originalmente por Ludwig Boltzmann, esta equação é uma ferramenta poderosa para a análise dos fenômenos de transporte envolvendo gradientes de temperatura e densidade. Essa equação é muito importante na física estatística e amplamente aplicada no estudo de sistemas fora do equilíbrio termodinâmico. Geralmente, a equação de transporte de Boltzmann é utilizada no estudo do transporte de calor e carga, fornecendo informações sobre propriedades de transporte como condutividade elétrica e térmica, viscosidade, etc. Para um sistema com função distribuição de partículas $f(\vec x,\vec p,t)\mathrm{d} \vec x \mathrm{d} \vec{p}$ sujeita à uma força externa $\vec{F}$, a equação de Boltzmann é dada por

$\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\vec{p}}{m}\frac{\partial f}{\partial \vec{x}}+\vec{F}\frac{\partial f}{\partial \vec{p}}=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}\Bigg|_{col}$

onde o termo da direita descreve o efeito das colisões entre as partículas do sistema.

Dedução matemática

Considere uma função de distribuição $f(\vec x, \vec p,t)$ , de maneira que

$f(\vec x,\vec p,t)\mathrm{d} \vec x \mathrm{d} \vec{p}$

represente o número de partículas que, no instante $t$, se encontra na posição $\vec x$ em um elemento de volume $\mathrm{d}\vec x$ com momento $\mathrm{d}\vec p$ em torno de $\vec p$. Na ausência de colisões entre as partículas desse sistema, temos

$f(\vec x + \vec v \delta t,\vec p + \vec F \delta t,t+\delta t)\mathrm{d} \vec x \mathrm{d} \vec{p} = f(\vec x,\vec p,t)\mathrm{d} \vec x \mathrm{d} \vec{p}$

onde $\vec F$, é um campo de força externo atuando nas partículas. Entretanto, se considerarmos as colisões entre partículas a densidade $f$ muda, e obtemos

$f(\vec x + \frac{\vec p}{m} \delta t,\vec p + \vec F \delta t,t+\delta t)\mathrm{d} \vec x \mathrm{d} \vec{p} - f(\vec x,\vec p,t)\mathrm{d} \vec x \mathrm{d} \vec{p} = \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}\Bigg|_{col}\mathrm{d} \vec x \mathrm{d} \vec{p} \mathrm{d} t$.

Onde agora, o termo da direita descreve as colisões entre partículas. Expandindo o lado esquerdo em primeira ordem em $\delta t$, chegamos a seguinte expressão para a equação de Boltzmann

$\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\vec{p}}{m}\frac{\partial f}{\partial \vec{x}}+\vec{F}\frac{\partial f}{\partial \vec{p}}=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}\Bigg|_{col}$.

Desde de sua descoberta, a equação de transporte de Boltzmann é utilizada no estudo de vários sistemas físicos, entretanto, soluções para essa equação só foram encontradas em 2010. Philip T. Gressman e Robert M. Strain encontraram uma solução global clássica para a equação de Boltzmann com interações de longo alcance.

A equação de Boltzmann pode ser utilizada para calcular as propriedades de transporte eletrônico em metais e semicondutores. Por exemplo, se um campo elétrico é aplicado à um sólido, devemos resolver a equação de Boltzmann para a função de distribuição dos elétrons. Se o campo elétrico é constante, a função de distribuição também é constante e esta associada à um fluxo de corrente na direção do campo. A partir da equação de Boltzmann também é possível calcular o fluxo de calor em um sólido que surge devido à uma diferença de temperatura, e a condutividade térmica. As equações resultantes descrevem os fenômenos termoelétricos, tais como o efeito Seebeck e o efeito Peltier. Finalmente, se temos um campo magnético constante, podemos ver que a condutividade elétrica geralmente diminui com o aumento do campo magnético, um comportamento conhecido como magnetorresistência. A equação do transporte de Boltzmann também pode ser utilizada para descrever o efeito Hall, e fenômenos mais complexos como termomagnético, o efeito Ettingshausen e o efeito Nernst.

Propriedades de não equilíbrio de gases atômicos ou moleculares, como viscosidade, condução térmica e difusão têm sido tratados com a equação de Boltzmann. Embora muitos resultados úteis, como a independência da viscosidade na pressão, podem ser obtidos por métodos aproximados.

Outra aplicação da equação de Boltzmann é no estudo de plasmas. Muitas das propriedades dos plasmas podem ser calculadas estudando o movimento das partículas individuais em campos elétricos e magnéticos, ou considerando equações hidrodinâmicas ou a equação Vlasov, juntamente com as equações de Maxwell. No entanto, propriedades sutis de plasmas, como processos de difusão e de amortecimento de ondas, podem ser melhor compreendidas, partindo da equação de Boltzmann.

Referências

• [1] N.W. Ashcroft and N.D. Mermin, Solid State Physics
• [2] M. P. Marder, Condensed Matter Physics, Wiley, New York, 2000.
• [3] K . Huang, Statistical Mechanics

Links externos

• Vida e Obra: Ludwig Boltzmann
• Matemáticos resolvem a equação de Boltzmann
• Equação de Boltzmann e nano dispositivos de Si
• Validade da equação de Boltzmann