Equação diferencial estocástica

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Este artigo disserta sobre equações diferenciais estocástica, um novo grupo de equações usadas em modelagem, geralmente aplicado tanto quando não temos um conhecimento completo do sistema ou quando não temos meios para criar um modelo preciso.

Introdução[editar | editar código-fonte]

Uma Equação Diferencial Estocástica (EDS), termo trazido do Inglês Stochastic Differential Equations (SDE) é uma equação diferencial em que um ou mais dos termos (variáveis) é um processo estocástico, resultando numa solução que também é um processo estocástico.

As equações diferenciais estocásticas são usadas para modelar diversos fenômenos, como os preços das ações na bolsa de valores ou sistemas físicos sujeitos a flutuações térmicas, no entanto um das áreas mais ativas atualmente são as áreas biomédicas devido à necessidade natural da teoria do cálculo estocástico, ver por exemplo estudos nesta direção em biologia sistêmica[1] .

Os primeiros trabalhos sobre equações diferenciais estocásticas descrevem o movimento Browniano (creditado a Einstein e Smoluchowski) ([2] ,[3] , [4] ); o que criou atualmente uma "bifurcação", existem duas teorias equivalentes, mas com teoria matemática diversa.

No entanto, um dos primeiros trabalhos relacionados com o movimento browniano é creditada a Louis Bachelier (1900) em sua tese Teoria da Especulação[5] , na verdade estudos em movimentos browniano foram iniciados pelo botânico Robert Brown em 1827, é tanto que Einstein menciona no inicio do seu artigo "Investigations on the theory of the Brownian movement (1905,1956)": "It is possible that the movements to be discussed here are identical with the so-called "Brownian molecular motion" ; however, the information available to me regarding the latter is so lacking in precision, that I can form no judgment in the matter". R Brown é mais conhecido por contribuições em medicina.

O físico francês Paul Langevin deu continuidade ao trabalho com objetivo de aplicar em teorias de interações intramoleculares, desenvolvendo a Equação de Langevin. Mais tarde o matemático japonês Kiyoshi Itō formalizou matematicamente estes conceitos, hoje chamado de cálculo de Itô, usando como base a equações de Itô.

Ao lado segue uma figura mostrando uma simulação numérica da expressão genética usando a equação mais simples possível, estudada em [6] . A linha contínua mostra a simulação de forma paralela da solução determinística. Usa-se o método de Euler para equações estocásticas, ou como conhecido método de Euler-Maruyama[7] ; ver método de Euler-Maruyama. Um dos pontos positivos da teoria atual do cálculo estocástico reside no fato de que em esperança matemática, expected value, a versão estocástica sempre converge para a versão determinística, isto tem sido explorado em modelos conhecidos como "caixa cinza", ver [8]

Simulação numérica de uma equação diferencial estocástica para expressão genética

Exemplo da transformação de uma modelagem de determinístico para estocástico[editar | editar código-fonte]

Um exemplo clássico em equações diferenciais ordinárias é o problema do container. Uma solução entra em um container por uma abertura e deixa o mesmo por outra, não existe "reação" interna, massa não é criada nem destruída, o container possui um sistema de homogeneização, ou seja, a concentração é a mesma em todo a solução interna. O desafio é gerar um equação que descreva matematicamente a evolução da quantidade de soluto dentro do container, assumindo que as soluções de entrada e saída podem ter concentrações diferentes, conhecemos as taxas de saída e entra, podemos medir tanto a concentração de entrada quanto saída.

A equação, após aplicação da conservação de massa[9] :

 Q(t)= Vc + k exp (- \frac{r}{V}t)

Usando a fórmula de Ito:

 dQ(t)= (rc - r\frac{Q(t)}{V} )dt + \sigma dw

Esta é uma equação diferencial estocástica linear, conhecida como processo de Ornstein-Uhlenbeck, a solução é conhecida para essa família de equações diferenciais estocásticas:

 Q(t)= exp{(-\frac{r}{V}t)}{(Q_0 - Vc ({1 - exp{(-\frac{r}{V}t)}))} + \sigma \int_{0}^{t}}{exp{(-\frac{r}{V}s)}}dW_s

Esta é a versão estocástica do problema do container. Uma propriedade interessante desta solução está no valor esperado da solução estocástica, o mesmo é a solução determinística. A variância é:

 Var (Q(t))= \frac{\sigma V}{r}

Exemplo da aplicação do método de Euler Maruyama[editar | editar código-fonte]

Considere a equação diferencial estocástica abaixo. Se colocarmos  \sigma igual a zero, tem-se uma exponencial que decai até zero.

 dX(t)= - aX(t)dt + \sigma dw

Ao lado segue a solução, repetida três vezes, usando o método de Euler Maruyama. Ver para mais exemplos e detalhes[10] .

Exemplo da aplicação do método de Euler Maruyama

Ver também[editar | editar código-fonte]

Nota[editar | editar código-fonte]

  • Cuidado deve ser tomado, aparentemente o nome "exato" já é usado em equações diferenciais, no entanto não no sentido oposto. Ver Equações Diferenciais Exatas.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Ruffino, P R C. Uma iniciação aos sistemas dinâmicos estocásticos. Publicações Matemáticas. IMPA, 2009.
  • Øksendal, Bernt K.. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Berlin: Springer, 2003. ISBN 3-540-04758-1
    • Wilkinson, DJ (2012). Stochastic modelling for systems biology. Second Edition. Chapman and Hall Book. CBC press.
    • Stachel, J (1998). Einstein’s miraculous year: five papers that changed the face of physics. Princeton University Press. New Jersey.
    • EVANS, Lawrence C. An introduction to stochastic differential equations. Version 1.2. Online: http://www.gaianxaos.com/pdf/stochastics/stochastic_diffeq.pdf. Last Access July 2014.
    • M. Scott. Applied Stochastic Processes in science and engineering. Online: http://www.math.uwaterloo.ca/~mscott/Little_Notes.pdf. Last Access: July 2014.
    • Aparentemente o texto foi publicado novamente pela Press Princeton. http://press.princeton.edu/chapters/s8275.pdf. Último acesso Julho 2014.
    • ALON, Uri. An Introduction to systems biology: design principles of biological circuits. Chapman & Hall/CRC, 2006.
    • P E Kloeden, Eckhard Platen, Numerical Solutions of Stochastic Differential Equations, Applications of Mathematics 23, Stochastic Modelling and Applied probability, Springer, 1992.
    • 1) C.W. Tornoe, J.L. Jacobsen, O. Pedersen, T. Hanse, H. Madsen, Grey-box modelling of pharmacokinetic/pharmacodynamics systems, Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics, 31(5), 401-417, 2004.
    • BOYCE, William E. ; DIPRIMA, Richard C. Elementary differential equations and boundary value problems seventh edition. John Wiley & Sons, Inc. : 2001.
    • Umberto Picchini, SDE Toolbox Simulation and Estimation of Stochastic Differential Equations with Matlab. http://sdetoolbox.sourceforge.net/