Equação diferencial estocástica

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Uma Equação Diferencial Estocástica (EDS), termo trazido do Inglês Stochastic Differential Equations (SDE) é uma equação diferencial em que um ou mais dos termos (variáveis) é um processo estocástico, resultando numa solução que também é um processo estocástico.

As equações diferenciais estocásticas são usadas para modelar diversos fenômenos, como os preços das ações na bolsa de valores ou sistemas físicos sujeitos a flutuações térmicas, no entanto um das áreas mais ativas atualmente são as áreas biomédicas devido à necessidade natural da teoria do cálculo estocástico, ver por exemplo estudos nesta direção em biologia sistêmica[1] .

Os primeiros trabalhos sobre equações diferenciais estocásticas descrevem o movimento Browniano (creditado a Einstein e Smoluchowski) ([2] ,[3] , [4] ); o que criou atualmente uma "bifurcação", existem duas teorias equivalentes, mas com teoria matemática diversa.

No entanto, um dos primeiros trabalhos relacionados com o movimento browniano é creditada a Louis Bachelier (1900) em sua tese Teoria da Especulação[5] , na verdade estudos em movimentos browniano foram iniciados pelo botânico Robert Brown em 1827, é tanto que Einstein menciona no inicio do seu artigo "Investigations on the theory of the Brownian movement (1905,1956)": "It is possible that the movements to be discussed here are identical with the so-called "Brownian molecular motion" ; however, the information available to me regarding the latter is so lacking in precision, that I can form no judgment in the matter". R Brown é mais conhecido por contribuições em medicina.

O físico francês Paul Langevin deu continuidade ao trabalho com objetivo de aplicar em teorias de interações intramoleculares, desenvolvendo a Equação de Langevin. Mais tarde o matemático japonês Kiyoshi Itō formalizou matematicamente estes conceitos, hoje chamado de cálculo de Itô, usando como base a equações de Itô.

Ao lado segue uma figura mostrando uma simulação numérica da expressão genética usando a equação mais simples possível, estudada em [6] . A linha contínua mostra a simulação de forma paralela da solução determinística. Usa-se o método de Euler para equações estocásticas, ou como conhecido método de Euler-Maruyama[7] ; ver método de Euler-Maruyama. Um dos pontos positivos da teoria atual do cálculo estocástico reside no fato de que em esperança matemática, expected value, a versão estocástica sempre converge para a versão determinística, isto tem sido explorado em modelos conhecidos como "caixa cinza", ver [8]

Simulação numérica de uma equação diferencial estocástica para expressão genética

Exemplo da transformação de uma modelagem de determinístico para estocástico[editar | editar código-fonte]

Um exemplo clássico em equações diferenciais ordinárias é o problema do container. Uma solução entra em um container por uma abertura e deixa o mesmo por outra, não existe "reação" interna, massa não é criada nem destruída, o container possui um sistema de homogeneização, ou seja, a concentração é a mesma em todo a solução interna. O desafio é gerar um equação que descreva matematicamente a evolução da quantidade de soluto dentro do container, assumindo que as soluções de entrada e saída podem ter concentrações diferentes, conhecemos as taxas de saída e entra, podemos medir tanto a concentração de entrada quanto saída.

A equação, após aplicação da conservação de massa[9] :

 Q(t)= Vc + k exp (- \frac{r}{V}t)

Usando a fórmula de Ito:

 dQ(t)= (rc - r\frac{Q(t)}{V} )dt + \sigma dw

Esta é uma equação diferencial estocástica linear, conhecida como processo de Ornstein-Uhlenbeck, a solução é conhecida para essa família de equações diferenciais estocásticas:

 Q(t)= exp{(-\frac{r}{V}t)}{(Q_0 - Vc ({1 - exp{(-\frac{r}{V}t)}))} + \sigma \int_{0}^{t}}{exp{(-\frac{r}{V}s)}}dW_s

Esta é a versão estocástica do problema do container. Uma propriedade interessante desta solução está no valor esperado da solução estocástica, o mesmo é a solução determinística. A variância é:

 Var (Q(t))= \frac{\sigma V}{r}

Nota[editar | editar código-fonte]

  • Cuidado deve ser tomado, aparentemente o nome "exato" já é usado em equações diferenciais, no entanto não no sentido oposto. Ver Equações Diferenciais Exatas.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Ruffino, P R C. Uma iniciação aos sistemas dinâmicos estocásticos. Publicações Matemáticas. IMPA, 2009.
  • Øksendal, Bernt K.. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Berlin: Springer, 2003. ISBN 3-540-04758-1.
    • Wilkinson, DJ (2012). Stochastic modelling for systems biology. Second Edition. Chapman and Hall Book. CBC press.
    • Stachel, J (1998). Einstein’s miraculous year: five papers that changed the face of physics. Princeton University Press. New Jersey.
    • EVANS, Lawrence C. An introduction to stochastic differential equations. Version 1.2. Online: http://www.gaianxaos.com/pdf/stochastics/stochastic_diffeq.pdf. Last Access July 2014.
    • M. Scott. Applied Stochastic Processes in science and engineering. Online: http://www.math.uwaterloo.ca/~mscott/Little_Notes.pdf. Last Access: July 2014.
    • Aparentemente o texto foi publicado novamente pela Press Princeton. http://press.princeton.edu/chapters/s8275.pdf. Último acesso Julho 2014.
    • ALON, Uri. An Introduction to systems biology: design principles of biological circuits. Chapman & Hall/CRC, 2006.
    • P E Kloeden, Eckhard Platen, Numerical Solutions of Stochastic Differential Equations, Applications of Mathematics 23, Stochastic Modelling and Applied probability, Springer, 1992.
    • 1) C.W. Tornoe, J.L. Jacobsen, O. Pedersen, T. Hanse, H. Madsen, Grey-box modelling of pharmacokinetic/pharmacodynamics systems, Journal of Pharmacokinetics and Pharmacodynamics, 31(5), 401-417, 2004.
    • BOYCE, William E. ; DIPRIMA, Richard C. Elementary differential equations and boundary value problems seventh edition. John Wiley & Sons, Inc. : 2001.