Equação diferencial exata

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Este artigo trata de equação diferencial ordinária exata no sentido denotativo, para possível sentido conotativo, que pode causar confusão, ver equações diferenciais estocásticas.

Uma Equação diferencial ordinária, tradução direta do Inglês Exact Diferential Equations, é dita exata [1] quando for possível colocá-la na forma:

 M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

e

 \frac{\part M}{\part y}= \frac{\part N}{\part x}

com M e N funções diferenciáveis e integráveis.

O teorema a seguir fornece um método sistemático de determinar se uma equação diferencial dada é exata.[2]

Teorema[editar | editar código-fonte]

Suponha que as funções M, N, M_{y} e N_{x}, onde os índices denotam derivadas parciais, são contínuas na região conexa  R:\alpha<x<\beta, \lambda<y<\sigma. Então, a equação

 M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

é uma equação diferencial exata em R se, e somente se,

M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y) (1)

em cada ponto de R. Isto é, existe uma função F(x,y) satisfazendo as equações,

F_{x}(x,y)=M(x,y)
F_{y}(x,y)=N(x,y)

se, e somente se, M e N satisfazem (1).[2]

Solução de uma EDO exata[editar | editar código-fonte]

Corolário[editar | editar código-fonte]

Quando uma EDO  M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é exata, existe uma função F(x,y) tal que

\frac{\partial F}{\partial x}=M

e

\frac{\partial F}{\partial y}=N,

que estabelece, de maneira implícita, a relação entre x e y de tal forma que y seja solução do problema.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Resolvamos a equação Diferencial Ordinária    y'=\frac{dy}{dx}=\frac{-(2x+y^{2})}{(2x+1)y} .

Temos:

(2x+y^{2})dx+(2xy+y)dy=0,

onde

M=(2x+y^{2}) e N=(2xy+y).

Logo,  \frac{\partial M}{\partial y}=2y=\frac{\partial N}{\partial x} é exata.

Pelo corolário acima, ∃F(x,y), então:

 \frac{\partial F}{\partial x}=M=2x+y^{2}.

Integrando em relação a x:

F(x,y)=x^{2}+xy^{2}+f(y), em que f(y) é uma função de y.

Além disso,  \frac{\partial F}{\partial y}=N=2xy+f'(y)=2xy+y. Então f'(y)=y.

Integrando em relação a y, temos: f(y)=\frac{y^{2}}{2}+c, c constante.

Logo, pelo corolário, a função F é:

F(x,y)=x^{2}+xy^{2}+\frac{y^{2}}{2}+c

A solução da equação diferencial exata é F(x,y)=0 ou seja

x^{2}+xy^{2}+\frac{y^{2}}{2}+c=0

Exemplo no plano[editar | editar código-fonte]

Considere uma função diferenciável

z = F(x,y) ;  (x,y) \in \Omega \subset {\mathbf R}^{2} da qual pode-se deduzir a expressão diferencial exata
dz = \frac{\partial F}{\partial x} dx +  \frac{\partial F}{\partial y} dy

A expressão que deu origem à equação,  z = F(x,y), representa uma superfície de um tipo especial, pois é o gráfico de uma função diferenciável.

Esta superfície, quando cortada pelo plano (de altura) constante  z = C equivale a resolver o sistema de equações:


\begin{array}{ll}
z =  C \\
z = F(x,y) \\  \end{array}

Geometricamente falando, o resultado desta interseção é uma curva no espaço, obtida pela interserção de duas superfícies. Como o plano é paralelo ao plano  XOY então há uma projeção desta curva espacial sobre o domínio  \Omega de  z = F(x,y) que chamamos curva de nível. Observe que se pode representar a interseção escrevendo


F(x,y) = C

Diferenciando esta última equação, obtemos:


\frac{\partial F}{\partial x} dx +  \frac{\partial F}{\partial y} dy  = 0

Esta última expressão é a que em geral temos, a equação diferencial exata. Quer dizer, resolver uma equação diferencial exata consiste em recuperar, se for possível, a função cuja diferencial se encontra expressa na equação.

Mas não é nesta forma canônica, das equações diferenciais exatas, uma das razões disso é que ela podem representar formas não exatas. A forma canônica é


P(x,y) dx +  Q(x,y) dy  = 0

Esta equação é dita exata se existe uma função  w = F(x,y) tal que


\begin{array}{l}
P(x,y) = \frac{\partial F}{\partial x}  \\
Q(x,y) = \frac{\partial F}{\partial y}  \\
\end{array}

Resolver, então, a equação diferencial exata consiste em descobrir  F a partir de suas derivadas parciais.

Referências

  1. E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C.. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno (em português). oitava ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. p. 51. ISBN 978-85-216-1499-9
  2. a b E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C.. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno (em português). oitava ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. ISBN 978-85-216-1499-9

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers:

Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications, 157-160. ISBN 0-486-41147-8

Ver também[editar | editar código-fonte]