Equação diferencial exata

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Este artigo trata de equação diferencial ordinária exata no sentido denotativo, para possível sentido conotativo, que pode causar confusão, ver equações diferenciais estocásticas.

Uma Equação diferencial ordinária é dita exata[1] quando é possível colocá-la na seguinte forma:

 M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

e

 \frac{\part M}{\part y}= \frac{\part N}{\part x}

com M e N funções diferenciáveis e integráveis.

Teorema[editar | editar código-fonte]

O seguinte teorema fornece um método sistemático de determinar se uma equação diferencial dada é exata.[2]

Suponha que as funções M, N, M_{y} e N_{x}, onde os índices denotam derivadas parciais, são contínuas na região conexa  R:\alpha<x<\beta, \lambda<y<\sigma. Então, a equação

 M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

é uma equação diferencial exata em R se, e somente se,

M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y) (1)

em cada ponto de R.

Isto é, existe uma função F(x,y) satisfazendo as equações,

F_{x}(x,y)=M(x,y)
F_{y}(x,y)=N(x,y)

se, e somente se, M e N satisfazem (1).[2]

Solução de uma EDO exata[editar | editar código-fonte]

Corolário[editar | editar código-fonte]

Quando uma EDO  M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é exata, existe uma função F(x,y) tal que

\frac{\partial F}{\partial x}=M

e

\frac{\partial F}{\partial y}=N,

que estabelece, de maneira implícita, a relação entre x e y de tal forma que y seja solução do problema.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Resolvamos a equação Diferencial Ordinária    y'=\frac{dy}{dx}=\frac{-(2x+y^{2})}{(2x+1)y} .

Temos:

(2x+y^{2})dx+(2xy+y)dy=0,

onde

M=(2x+y^{2}) e N=(2xy+y).

Logo,  \frac{\partial M}{\partial y}=2y=\frac{\partial N}{\partial x} é exata.

Pelo corolário acima, ∃F(x,y), então:

 \frac{\partial F}{\partial x}=M=2x+y^{2}.

Integrando em relação a x:

F(x,y)=x^{2}+xy^{2}+f(y), em que f(y) é uma função de y.

Além disso,  \frac{\partial F}{\partial y}=N=2xy+f'(y)=2xy+y. Então f'(y)=y.

Integrando em relação a y, temos: f(y)=\frac{y^{2}}{2}+c, c constante.

Logo, pelo corolário, a função F é:

F(x,y)=x^{2}+xy^{2}+\frac{y^{2}}{2}+c

A solução da equação diferencial exata é F(x,y)=0 ou seja

x^{2}+xy^{2}+\frac{y^{2}}{2}+c=0

Exemplo no plano[editar | editar código-fonte]

Considere uma função diferenciável

z = F(x,y) ;  (x,y) \in \Omega \subset {\mathbf R}^{2} da qual pode-se deduzir a expressão diferencial exata
dz = \frac{\partial F}{\partial x} dx +  \frac{\partial F}{\partial y} dy

A expressão que deu origem à equação,  z = F(x,y), representa uma superfície de um tipo especial, pois é o gráfico de uma função diferenciável.

Esta superfície, quando cortada pelo plano (de altura) constante  z = C equivale a resolver o sistema de equações:


\begin{array}{ll}
z =  C \\
z = F(x,y) \\  \end{array}

Geometricamente falando, o resultado desta interseção é uma curva no espaço, obtida pela interserção de duas superfícies. Como o plano é paralelo ao plano  XOY então há uma projeção desta curva espacial sobre o domínio  \Omega de  z = F(x,y) que chamamos curva de nível. Observe que se pode representar a interseção escrevendo


F(x,y) = C

Diferenciando esta última equação, obtemos:


\frac{\partial F}{\partial x} dx +  \frac{\partial F}{\partial y} dy  = 0

Esta última expressão é a que em geral temos, a equação diferencial exata. Quer dizer, resolver uma equação diferencial exata consiste em recuperar, se for possível, a função cuja diferencial se encontra expressa na equação.

Mas não é nesta forma canônica, das equações diferenciais exatas, uma das razões disso é que ela podem representar formas não exatas. A forma canônica é


P(x,y) dx +  Q(x,y) dy  = 0

Esta equação é dita exata se existe uma função  w = F(x,y) tal que


\begin{array}{l}
P(x,y) = \frac{\partial F}{\partial x}  \\
Q(x,y) = \frac{\partial F}{\partial y}  \\
\end{array}

Resolver, então, a equação diferencial exata consiste em descobrir  F a partir de suas derivadas parciais.

Referências

  1. E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C.. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno (em português). oitava. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. p. 51. ISBN 978-85-216-1499-9.
  2. a b E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C.. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno (em português). oitava. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. ISBN 978-85-216-1499-9.
  • Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers:Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications, 157-160. ISBN 0-486-41147-8

Ver também[editar | editar código-fonte]