Equação diferencial linear

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Uma equação diferencial linear é uma equação diferencial da forma

a_n(x) \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + ... + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x)\,\!. (0.1)

Dizem-se lineares porque todos os coeficientes são funções de x e a função y e as suas derivadas têm todas expoente 1 (ou 0). Uma equação diferencial não linear é, por exemplo,

\left ( \frac{d^2y}{dx^2} \right )^3 - 2xy = 1.

Alguns casos particulares:

  • Quando g(x) = 0, a equação é chamada de equação diferencial linear homogênea.
  • Quando ai(x) forem funções constantes, a equação é chamada de equação diferencial linear com coeficientes constantes.


Equação diferencial linear de ordem 1[editar | editar código-fonte]

A equação diferencial linear (0.1) diz-se de ordem n, supondo a_n(x) \ne 0, visto ser n a ordem mais elevada das derivadas de y que figuram na equação.

Para n = 1, a equação (0.1) fica

a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x). (0.2)

Temos neste caso uma equação diferencial de primeira ordem.

Desenvolvimento[editar | editar código-fonte]

Dividindo ambos os membros por a_1(x), obtém-se uma equação da forma

\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x). (0.3)

Na equação (0.3) supõe-se que P(x) e Q(x) são contínuas num certo intervalo I, onde pretendemos encontrar a solução geral da equação.

Para resolver esta equação, usa-se o fator integrante e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}. Multiplicando ambos os membros da equação por e^{\int_{}^{} P(x)\,dx} obtém-se a seguinte equação equivalente:


e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}\frac {dy}{dx} + e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}P(x)y = e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}Q(x)
. (0.4)

À expressão e^{\int_{}^{} P(x)\,dx} chama-se factor integrante. Deve-se notar que, como \int_{}^{} P(x)\ dx\, gera uma expressão da forma P_1(x) + C\,, pode-se escolher qualquer constante C para o factor integrante (escolhe-se o que gera a solução mais simples).

Vamos mostrar que a solução geral de (0.3) é dada por

e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}y = \int_{}^{} e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}Q(x)\,dx + C. (0.5)

Com efeito, (0.4) é equivalente a


\frac{d}{dx} \left [ ye^{\int_{}^{} P(x)\,dx} \right ] = e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}Q(x)
. (0.6)

(Verifique, derivando o primeiro membro de (0.6).) Integrando, obtém-se (0.5). Conclui-se assim que toda a solução y de (0.3) satisfaz (0.6). Por outro lado é fácil ver que toda a função y nas condições de (0.5), i.e., tal que


y = e^{-\int_{}^{} P(x)\,dx} \int_{}^{} e^{\int_{}^{} P(x)\,dx} Q(x)\,dx + Ce^{-\int_{}^{} P(x)\,dx}, (0.7)

é solução da equação diferencial (0.3). (Derive y, ou seja, o segundo membro de (0.7), e substitua y e y' em (0.3)).

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a equação diferencial

y' + 2y = e^{2x}\,\!. (0.8)

Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Comparando com (0.3),

P(x) = 2\,\! e Q(x)=e^{2x}\,\!.

\int_{}^{} P(x)dx = \int_{}^{} 2dx = 2x + C.

A solução geral da equação é dada por

e^{2x}y = \int_{}^{} e^{2x}e^{2x}\,dx + C,

donde se obtém

e^{2x}y = \int_{}^{} e^{4x}\,dx + C,

i.e.,

e^{2x}y = \frac {e^{4x}}{4} + C.

A solução geral (explícita) da equação (0.8) é então

y = \frac {e^{2x}}{4} + Ce^{-2x}.

Equação linear de ordem 2 e superior[editar | editar código-fonte]

Uma equação diferencial linear de ordem n tem a forma geral


  a_0 (x) y^{(n)} + a_1 (x) y^{(n-1)} + \ldots + a_{n-1} (x) y'
  + a_n (x) y = g(x)

onde a_0 é diferente de zero (se não fosse, teríamos uma equação de ordem n-1). Por simplicidade estudaremos a equação de ordem 2, mas os resultados obtidos serão facilmente generalizados ao caso de ordem n. Dividindo os dois lados da equação linear de segunda ordem por a_0, obtém-se a forma padrão


  y'' + p(x)y' + q(x) y = f(x)

Existência e unicidade da solução[editar | editar código-fonte]

Se as funções p(x), q(x) e f(x) são contínuas num intervalo (a,b), existe uma única solução da equação linear


 y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)

no intervalo (a,b), que verifica as condições iniciais


    y(c) = A  \qquad   y'(c) = B

para quaisquer números A, B e c (c dentro do intervalo (a,b)).

Em contraste com o teorema de Picard para equações de primeira ordem, o intervalo onde se verificam as condições de existência e unicidade é exatamente o mesmo intervalo onde a solução é válida; portanto, neste caso as condições do teorema de existência e unicidade são condições suficientes e necessárias.[1]

No caso geral de ordem n, as condições iniciais serão o valor da função e das primeiras n-1 {d \over d}adas num ponto c, e as condições de existência e unicidade serão a continuidade das n+1 funções que aparecem na forma padrão da equação.

Solução geral das equações lineares[editar | editar código-fonte]

Dadas duas soluções particulares da equação linear, a diferença entre elas é solução da equação homogênea associada


       y'' + p(x)y' + q(x) y = 0

De maneira recíproca, qualquer soma de uma solução da equação linear mais uma solução da equação homogênea associada, é também solução da equação linear.[1] Assim a solução geral pode ser obtida a partir de uma única solução particular, y_\mathrm{p}, da equação mais a solução geral da equação homogênea associada, y_\mathrm{h}


  y_\mathrm{g}  = y_\mathrm{p} + y_\mathrm{h}

Para resolver uma equação linear começamos por resolver a equação linear homogênea associada e depois encontramos uma solução particular y_\mathrm{p}.[1]

Equações lineares homogêneas[editar | editar código-fonte]

A forma geral da equação linear homogênea de segunda ordem é


  y'' + p(x)y' + q(x)y = 0

dadas duas soluções particulares y_1 e y_2, qualquer combinação linear das duas soluções


  c_1 y + c_2 y

é também solução. Consequentemente as soluções da equação formam um espaço vetorial. Para determinar a solução geral bastará com determinar uma base do espaço vetorial, ou seja um conjunto com o número máximo possível de soluções particulares linearmente independentes. A continuação veremos como determinar se duas soluções são linearmente independentes.[1]

Independência linear entre funções[editar | editar código-fonte]

Diz-se que duas funções f(x) e g(x) são linearmente dependentes se existem duas constantes C_1 e C_2 (pelo menos uma de elas diferente de zero)tal que


  C_1 f + C_2 g = 0

para qualquer valor de x. A derivada da expressão anterior é


  C_1 f' + C_2 g' = 0

Para cada valor de x, as duas últimas equações são um sistema linear. O determinante do sistema é


  W[ f, g] = {\left|\begin{array}{rr} f & g \\ f'& g' \end{array}\right|}

e designa-se Wronskiano das funções f e g. Se o Wronskiano for diferente de zero num intervalo, as duas constantes serão nulas e as funções linearmente independentes no intervalo. Realmente também existem casos em que as funções são linearmente independentes e o Wronskiano é nulo em alguns pontos isolados, mas esses casos não aparecem no estudo das soluções das equações lineares, como veremos na seguinte seção.[1]

Solução geral das equações lineares homogêneas[editar | editar código-fonte]

Se y_1 e y_2 são duas soluções particulares da equação linear homogênea


    y'' + p(x)y' + q(x)y = 0

num intervalo (a,b), e se num ponto x_0 dentro do intervalo o Wronskiano das duas soluções é diferente de zero, então o Wronskiano será diferente de zero em qualquer outro ponto no intervalo (a,b) e as soluções serão linearmente independentes no intervalo.[1]

Uma combinação linear das duas soluções é também solução; as condições iniciais para essa solução serão


\begin{align}
  C_1 y_1(c)  + C_2 y_2(c)  &=& A\\
  C_1 y_1'(c) + C_2 y_2'(c) &=& B
\end{align}

para quaisquer valores iniciais A e B existe sempre solução única C_1 e C_2, já que o determinante deste sistema linear é exatamente o Wronskiano das duas soluções, o qual é diferente de zero. Qualquer solução particular pode ser obtida a partir de uma combinação linear das duas soluções


  y_\mathrm{g} = C_1 y_1 + C_2 y_2

sendo esta a solução geral.[1]

Equações lineares homogêneas de coeficientes constantes[editar | editar código-fonte]

A equação


  y'' + b y' + c y = 0

onde b e c são duas constantes, é uma equação linear homogênea de coeficientes constantes. A solução deste tipo de equação será uma função que seja linearmente dependente das sua primeira e segunda derivadas, já que a equação acima com b e c não nulos indica que as três funções são linearmente dependentes. Uma função cuja {d \over d}ada não é linearmente independente de si é a função exponencial; consequentemente esperamos que exista alguma solução particular da forma


  y = e^{rx}

onde r é uma constante. Para que essa função seja solução será preciso que


  y'' + b y' + c y = r^2 e^{rx} + br e^{rx} + c e^{rx} = 0

como a exponencial nunca é igual a zero


  r^2 + b r + c = 0

Este polinômio designa-se polinómio caraterístico. As duas raízes podem ser reais ou complexas e teremos 3 casos:

Raízes reais diferentes[editar | editar código-fonte]

Por cada uma das duas raízes obtemos uma solução particular. É fácil demonstrar que o Wronskiano das duas soluções correspondentes é não nulo e portanto a solução geral será


  y_\mathrm{g} = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}

Raízes reais iguais[editar | editar código-fonte]

Se os coeficientes do polinômio caraterístico verificarem a relação


  b^2 - 4 ac = 0

existe uma única raiz real r = -b/2. A única solução exponencial é


       y_1 = e^{rx}

multiplicada por qualquer constante arbitrária. Para encontrar a solução geral usa-se o Método de d'Alembert


       y = vy_1 \qquad v'' = (-2r - b) v'

como a raiz da equação caraterística é r = -b/2, obtemos uma equação simples que permite calcular v'


  v'' = 0   \qquad\Longrightarrow\qquad v = C_1 + C_2 x

A solução geral é 
  y_\mathrm{g} = (C_1 + C_2 x) e^{rx}

Raízes complexas[editar | editar código-fonte]

Neste caso uma das raízes é r = a + ib (a e b reais) e a outra é o complexo conjugado. A solução obtida é uma função complexa


  z = e^{(\alpha + \mathrm{i} \beta)x} = e^{\alpha x} e^{\mathrm{i} \beta x}
  = e^{\alpha x} \big[ \cos(\beta x) + \mathrm{i} \sin(\beta x) \big]

É fácil mostrar que se y é solução, as suas partes real e imaginária também o são. Temos assim duas soluções reais (parte real e imaginária de z) que são linearmente independentes e a solução geral será


  y_\mathrm{g}  = C_1 e^{\alpha x} \cos(\beta x) + C_2 e^{\alpha x}
  \sin(\beta x)

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Encontre a solução geral de


    y'' + 2y' + 8y = 0


O polinômio caraterístico é


  r^2 + 2r + 8 = 0

Com duas raízes complexas


  r_1 = -1 + \mathrm{i}\sqrt{7} \qquad r_2 = -1 - \mathrm{i} \sqrt{7}

A solução geral é


  y = e^{-x}  \big[ C_1 \sin(\sqrt{7} x) + C_2 cos(\sqrt{7} x) \big]
  \qquad

Equações lineares não homogêneas[editar | editar código-fonte]

Método dos coeficientes indeterminados[editar | editar código-fonte]

Consideremos as equações diferenciais lineares de coeficientes constantes


  y'' + b y' + c y = f(x)

Para algumas funções f(x) é fácil descobrir uma solução particular da equação; vamos considerar alguns casos e depois generalizaremos o método.

Funções exponenciais[editar | editar código-fonte]

Por exemplo a equação


  y'' + 3y' + 2y = 2e^{3x}

Como as derivadas da função exponencial são múltiplos da própria função, esperamos que existam soluções particulares da forma[1]


  y = A e^{3x}

onde A é um coeficiente a ser determinado. As derivadas da função são


  y' = 3Ae^{3x}  \qquad y'' = 9Ae^{3x}

e substituindo na equação diferencial


  y'' + 3y' + 2y = 20 Ae^{3x}

e para que a função seja solução da equação, A deverá ser igual a 0,\!1.

Polinômios[editar | editar código-fonte]

Consideremos agora uma equação em que o lado direito é um polinômio


  y'' - 4y' + 2y = 2x^2

O lado direito é um polinômio de segundo grau.[1] Se y fosse igual a x^2, obtínhamos o lado direito a partir do termo 2y no lado esquerdo; mas as derivadas de x^2 darão um termo dependente de x e uma constante; para anular esses termos que não aparecem no lado direito, incluímos os mesmos na função y, multiplicados por coeficientes que serão logo determinados


  y = A + Bx + Cx^2

e substituindo na equação diferencial


       y'' - 4y' + 2y = 2C - 4B + 2A + (2B - 8C)x + 2Cx

para que este último polinômio seja igual a 2x^2 (para qualquer valor de x) é necessário que os coeficientes A, B e C verifiquem as seguintes equações


\begin{align}
  2C &=& 2 \\
  2B - 8C &=& 0 \\
  2A - 4B + 2C &=& 0
\end{align}

e a solução deste sistema dá os coeficientes que definem a solução particular


  y_\mathrm{p} = 7 + 4x + x^2

Funções seno ou co-seno[editar | editar código-fonte]

Por exemplo a equação


       y'' - 3y' + 2y = 10 \sin(2x)

O termo 2y conduziria ao lado direito, se y = 5 \cos(2x); mas como as derivadas do co-seno são o seno e o co-seno, admitimos a seguinte forma para a solução


  y = A \cos(2x) + B \sin(2x)

substituindo na equação diferencial obtemos


       y'' - 3y' + 2y = (-4A - 6B + 2A)\cos(2x) + (-4B + 6A + 2B)\sin(2x)

como o seno e o co-seno são funções linearmente independentes, esta última combinação linear delas só poderá ser igual a 10 sen(2x) se


\begin{align}
       -4A - 6B + 2A &=& 0\\
       -4B + 6A + 2B &=& 10
\end{align}

A solução deste sistema é A = 1,5, B = -0,5 e a solução particular é


       y = 1,5  cos(2x) -0,5 sin(2x)

Exclusão de soluções da equação homogênea[editar | editar código-fonte]

Nos três exemplos anteriores, a solução procurada foi uma combinação linear de algumas funções linearmente independentes com tantos coeficientes indeterminados quantas funções houver.

Comparando os coeficientes de cada função encontra-se uma equação linear por cada coeficiente. No entanto, se alguma das funções independentes fosse também solução da equação homogênea correspondente, a equação obtida não terá solução, como podemos ver no seguinte exemplo


       y'' - 3y' - 4y = e^{-x}

usando o método do primeiro exemplo


  y = Ae^{-x} \quad\Longrightarrow\quad
  y'' - 3y' - 4y = (A + 3A - 4A)e^{-x}  = 0

a solução particular neste caso tem a forma


  y = A x e^{-x}

onde A pode ser determinado por substituição na equação, já que neste caso a função anterior não é solução da equação homogênea (se fosse, teríamos multiplicado mais uma vez por x).

Produtos de polinômios, exponenciais e seno ou co-seno[editar | editar código-fonte]

O método de coeficientes indeterminados pode ser usado também quando o lado direito for um produto dos três primeiros casos; por exemplo a equação


       y'' - 6y' + 9y = (2 + x)e^{3x} \cos(2x)

A solução particular tem a forma


       y = (A + Bx)e^{3x} \cos(2x) + (C + Dx)e^{3x} \sin(2x)

mas se o lado direito fosse, por exemplo


       y'' - 6y' + 9y = (2 + x)e^{3x}

nesse caso a solução teria a forma


  y = (Ax^2 + Bx^3 )e^{3x} + (Cx^2 + Dx^3)e^{3x}

Foi preciso multiplicar os dois polinômios duas vezes por x já que as funções


  e^{3x} \qquad xe^{3x}

são soluções da equação homogênea correspondente.

O método dos coeficientes indeterminados é útil no caso de equações de coeficientes constantes ou equações de Euler e quando o lado direito tenha a forma geral de alguma das funções consideradas acima.

Principio de sobreposição[editar | editar código-fonte]

As soluções de uma equação diferencial não homogênea não constituem um sub-espaço vetorial, pois uma combinação linear de duas soluções não é necessariamente solução da equação. No entanto existe uma propriedade de linearidade importante, chamada principio de sobreposição. Consideremos, por exemplo, a equação de segunda ordem


  y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)

com uma solução y_1, e a equação


  y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)

com outra solução y_2. É fácil conferir que para quaisquer constantes A e B


  A y_1 + B y_2

É solução da equação


  y'' + p(x)y' + q(x)y = A f(x) + B g(x)

Para apreciar a utilidade deste principio na resolução de equações diferenciais consideremos o seguinte exemplo


  y'' + y' + 2y = 5x + 3e^x

a função y = x + A é solução de:


  y'' + y' + 2y = 1 + 2(x + A) = 2x + A + 1

portanto, y = x - 1 é solução da equação com lado direito igual a 2x. Para a exponencial temos


  y = e^x \quad\Longrightarrow\quad y'' + y' + 2y = 4e^x

o lado direito da equação inicial é


  \frac{5(2x)}{2} + \frac{3(4e^x)}{4}

e aplicando o princípio de sobreposição uma solução será


  \frac{5}{2}(x - 1) + \frac{3}{4} e^x

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d e f g h i [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013.

Ver também[editar | editar código-fonte]