Equação diferencial linear

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Uma equação diferencial linear é uma equação diferencial da forma

a_n(x) \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + ... + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x). (0.1)

Dizem-se lineares porque todos os coeficientes são funções de x e a função y e as suas derivadas têm todas expoente 1 (ou 0). Uma equação diferencial não linear é, por exemplo,

\left ( \frac{d^2y}{dx^2} \right )^3 - 2xy = 1.

Alguns casos particulares:

  • Quando g(x) = 0, a equação é chamada de equação diferencial linear homogênea.
  • Quando ai(x) forem funções constantes, a equação é chamada de equação diferencial linear com coeficientes constantes.


Equação diferencial linear de ordem 1[editar | editar código-fonte]

A equação diferencial linear (0.1) diz-se de ordem n, supondo a_n(x) \ne 0, visto ser n a ordem mais elevada das derivadas de y que figuram na equação.

Para n = 1, a equação (0.1) fica

a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x). (0.2)

Temos neste caso uma equação diferencial de primeira ordem.

Desenvolvimento[editar | editar código-fonte]

Dividindo ambos os membros por a_1(x), obtém-se uma equação da forma

\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x). (0.3)

Na equação (0.3) supõe-se que P(x) e Q(x) são contínuas num certo intervalo I, onde pretendemos encontrar a solução geral da equação.

Para resolver esta equação, usa-se o fator integrante e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}. Multiplicando ambos os membros da equação por e^{\int_{}^{} P(x)\,dx} obtém-se a seguinte equação equivalente:

e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}\frac {dy}{dx} + e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}P(x)y = e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}Q(x). (0.4)

Deve-se notar que, como \int_{}^{} P(x)\ dx gera uma expressão da forma P_1(x) + C, pode-se escolher qualquer constante C para o factor integrante (escolhe-se o que gera a solução mais simples).

Vamos mostrar que a solução geral de (0.3) é dada por

e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}y = \int_{}^{} e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}Q(x)\,dx + C. (0.5)

Com efeito, (0.4) é equivalente a

\frac{d}{dx} \left [ ye^{\int_{}^{} P(x)\,dx} \right ] = e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}Q(x). (0.6)

(Verifique, derivando o primeiro membro de (0.6).) Integrando, obtém-se (0.5). Conclui-se assim que toda a solução y de (0.3) satisfaz (0.6). Por outro lado é fácil ver que toda a função y nas condições de (0.5), i.e., tal que

y = e^{-\int_{}^{} P(x)\,dx} \int_{}^{} e^{\int_{}^{} P(x)\,dx} Q(x)\,dx + Ce^{-\int_{}^{} P(x)\,dx}, (0.7)

é solução da equação diferencial (0.3). (Derive y, ou seja, o segundo membro de (0.7), e substitua y e y' em (0.3)).

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a equação diferencial

y' + 2y = e^{2x}. (0.8)

Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Comparando com (0.3),

P(x) = 2 e Q(x)=e^{2x}.

\int_{}^{} P(x)dx = \int_{}^{} 2dx = 2x + C.

A solução geral da equação é dada por

e^{2x}y = \int_{}^{} e^{2x}e^{2x}\,dx + C,

donde se obtém

e^{2x}y = \int_{}^{} e^{4x}\,dx + C,

i.e.,

e^{2x}y = \frac {e^{4x}}{4} + C.

A solução geral (explícita) da equação (0.8) é então

y = \frac {e^{2x}}{4} + Ce^{-2x}.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

Ver também[editar | editar código-fonte]