Equação do sexto grau

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Gráfico de uma função de sexto grau.

Equações monovariáveis do sexto grau são equações que podem ser expressas na forma  ax^6 + bx^5 + cx^4 +dx^3 + ex^2 + fx + g = 0 , onde  x é a incógnita,  a; b; c; d; e; f e  g são coeficientes e  a \neq 0 , pois no contrário a equação teria grau 5.

  • Exemplo:
  1. x^6+4x^5-58x^4-148x^3+813x^2+144x-756=0, cujas raízes são: x_{1, 2}=\pm 1, x_{3, 4}=\pm 6, x_{5}=3 e  x_{6}=-7
  2. x^6-3x^4+3x^2-1=0, cujas raízes são: x_{1, 2, 3}=1 e  x_{4, 5, 6} = -1


Toda equação do sexto grau possui exatamente 6 soluções(ou raízes), quer reais, quer complexas.

Pelo teorema de Abel-Ruffini, equações de grau superior a 5 não podem ser, em maioria, resolvidas por radicais, porém existem exceções.

Equação Triquadrática[editar | editar código-fonte]

A equação triquadrática é um exemplo de equação de sexto grau solúvel por radicais, que é expressa na forma:

 ax^6 + dx^3 + g = 0

que pode ser resolvida utilizando a substituição  x=\sqrt[3]{y} , resultando na equação quadrática  ay^2+dy+g , cujas raízes são expressas por  y=\dfrac{-d \pm \sqrt{d^2-4ag}}{2a} , onde as raízes de  x podem ser descobertas de duas maneiras:

Primeiro método: descobrem-se as duas raízes  y_1 e  y_2 , tira-se as raízes cúbicas simples e tem-se  x_1 e  x_2 , divide-se o polinômio por  x-x_1 e  x-x_2 :  \dfrac{ax^6+dx^3+g}{(x-x_1) \cdot (x-x_2)} e obtém-se uma equação quártica, da qual pode-se extrair as últimas 4 raízes.

Segundo método: Após descobrir  y_1 e  y_2 , retira-se as 3 raízes cúbicas de  y_1 e as 3 raízes cúbicas de  y_2 , logo tem-se as 6 raízes de  x .

  • Exemplo:
  1.  x^6 + 4x^3 + 1 = 0 ,primeiro se utiliza a fórmula  x= \sqrt[3]{y} , logo se tem:  y^2 + 4y + 1 = 0 , onde as raízes de  y são dadas por:  y = \dfrac{- 4 \pm \sqrt{(4)^2-4\cdot 1 \cdot 1}}{2\cdot 1}, que simplificando chegamos em  y = -2 \pm \sqrt{3} , então  x^6 +4x^3 + 1 = 0 possui as raízes  x_{1, 2, 3}=\sqrt[3]{-2+\sqrt{3}} e  x_{4, 5, 6}=\sqrt[3]{-2-\sqrt{3}}

Equação Bicúbica[editar | editar código-fonte]

A equação bicúbica é uma equação de sexto grau no formato  ax^6 + cx^4 + ex^2 + g = 0 e pode-se usar a substituição de  x=\sqrt{y} , onde a equação se transforma em  ay^3 + cy^2 + ey + g = 0 , que é uma cúbica resolvente, onde após achadas as raízes, pode-se tirar suas raízes quadradas tal que:  x_{1, 2} = \pm \sqrt{y_1} , x_{3, 4} = \pm \sqrt{y_2} e  x_{5, 6} = \pm \sqrt{y_3} .


  • Exemplo:  x^6-14x^4+49x^2-36=0 , utiliza-se a substituição  x = \sqrt{y} , que transforma a equação em  y^3-14y^2+49y-36=0 , pela variação de sinais percebe-se que  y possui raízes positivas, pelo teorema das raízes racionais, há haver raízes inteiras, estas apenas poderão ser \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 9, \pm 18 e  \pm 36. Com a substituição, tem-se que apenas  1, 4 e  9 são soluções de y . Com isso temos que  x = \pm\sqrt{y} , logo a equação  x^6-14x^4+49x^2-36=0 possui as raízes  x_{1, 2}=\pm 1 , x_{3,4} = \pm 2 e  x_{5, 6}= \pm 3 .



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