Equações de Euler (dinâmica do corpo rígido)

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Em mecânica clássica as equações de Euler descrevem a rotação de um corpo rígido num sistema de referência com os seus eixos fixos ao corpo e paralelo ao eixos principais do corpo de inércia. Em componentes cartesianas, são eles:

 J_x \, \dot{\omega}_{x\mathrm{C}} + (J_z - J_y) \, \omega_{y\mathrm{C}} \, \omega_{z\mathrm{C}} = M_{x\mathrm{C}}
 J_y \, \dot{\omega}_{y\mathrm{C}} + (J_x - J_z) \, \omega_{x\mathrm{C}} \, \omega_{z\mathrm{C}} = M_{y\mathrm{C}}
 J_z \, \dot{\omega}_{z\mathrm{C}} + (J_y - J_x) \, \omega_{y\mathrm{C}} \, \omega_{x\mathrm{C}} = M_{z\mathrm{C}}

onde J_{i\mathrm{C}} são os momentos de inércia, \dot{\omega}_{i\mathrm{C}} as acelerações angulares, \omega_{i\mathrm{C}} as velocidades angulares e M_{i\mathrm{C}} os torques. Todos no sistema de coordenadas do corpo rígido.

Motivação de dedução[editar | editar código-fonte]

Os cálculos que envolvem a aceleração, a aceleração angular, velocidade angular, momento angular, e a energia cinética são muitas vezes mais fáceis quando referenciados nas coordenadas do corpo. Isso porque o tensor momento de inércia \mathbf{J}_\mathrm{C} no sistema de coordenadas do corpo não se altera com o tempo. Se o tensor dos momentos de inércia do corpo rígido (com nove componentes, dos quais seis são independentes) for diagonalizado, então obtêm-se um sistema de coordenadas (chamado de eixos principais), no qual o momento de inércia do tensor tem apenas três componentes. [1] O momento ângular no sistema do corpo é

\mathbf{L}_\mathrm{C} = \mathbf{J}_\mathrm{C} \, \boldsymbol{\omega} = 
\begin{bmatrix}
 J_x & 0   & 0 \\
 0   & J_y & 0 \\
 0   & 0   & J_z 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
 \omega_x \\
 \omega_y \\
 \omega_z 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
 J_x \, \omega_{x} \\
 J_y \, \omega_{y} \\
 J_z \, \omega_{z}
\end{bmatrix} ~.

No entanto, o princípio fundamental da dinâmica é definido no sistema inercial:

\frac{d\mathbf{L}_\mathrm{I}}{dt} = \mathbf{M}_\mathrm{I} ~,

onde \mathbf{M} é o vetor torque. Para princípio fundamental da dinâmica ser resolvido com o sistema de coordenadas do corpo, o vetor do momento de inércia precisa ser transformado pela matriz de rotação \mathbf{T}_\mathrm{IC} definida pelos ângulos de Euler. Portanto,

\frac{d\mathbf{L}_\mathrm{I}}{dt} =
 \frac{d}{dt} \left(\mathbf{T}_\mathrm{IC} \, \mathbf{L}_\mathrm{C} \right) =
 \dot{\mathbf{T}}_\mathrm{IC} \, \mathbf{L}_\mathrm{C} + \mathbf{T}_\mathrm{IC} \, \dot{\mathbf{L}}_\mathrm{C} =
 \mathbf{M}_\mathrm{I} ~.

Para se obter o torque no sistema de coordenadas do corpo, multiplica-se os dois lados por \mathbf{T}_\mathrm{CI} = \mathbf{T}_\mathrm{IC}^{-1}:

 \mathbf{T}_\mathrm{CI} \, \dot{\mathbf{T}}_\mathrm{IC} \, \mathbf{L}_\mathrm{C} + \dot{\mathbf{L}}_\mathrm{C} =
 \mathbf{M}_\mathrm{C} ~,

ou

 \mathbf{T}_\mathrm{CI} \, \dot{\mathbf{T}}_\mathrm{IC} \, 
\begin{bmatrix}
 J_x \, \omega_{x\mathrm{C}} \\
 J_y \, \omega_{y\mathrm{C}} \\
 J_z \, \omega_{z\mathrm{C}}
\end{bmatrix}
 + 
\begin{bmatrix}
 J_x \, \dot{\omega}_{x\mathrm{C}} \\
 J_y \, \dot{\omega}_{y\mathrm{C}} \\
 J_z \, \dot{\omega}_{z\mathrm{C}} 
\end{bmatrix}
 =
\begin{bmatrix}
 M_{x\mathrm{C}} \\
 M_{y\mathrm{C}} \\
 M_{z\mathrm{C}} 
\end{bmatrix} ~,

com

 \mathbf{T}_\mathrm{CI} \, \dot{\mathbf{T}}_\mathrm{IC} = 
\begin{bmatrix}
 0                    & -\omega_{z\mathrm{C}} & \omega_{y\mathrm{C}} \\
 \omega_{z\mathrm{C}} & 0                     & -\omega_{x\mathrm{C}} \\
 -\omega_{y\mathrm{C}}& \omega_{x\mathrm{C}}  & 0
\end{bmatrix} ~.

Finalmente obtê-se as famosas equações de Euler que descrevem como os componentes do vetor de velocidade angular no sistema de coordenadas do corpo evoluem no tempo,

 J_x \, \dot{\omega}_{x\mathrm{C}} + (J_z - J_y) \, \omega_{y\mathrm{C}} \, \omega_{z\mathrm{C}} = M_{x\mathrm{C}}
 J_y \, \dot{\omega}_{y\mathrm{C}} + (J_x - J_z) \, \omega_{x\mathrm{C}} \, \omega_{z\mathrm{C}} = M_{y\mathrm{C}}
 J_z \, \dot{\omega}_{z\mathrm{C}} + (J_y - J_x) \, \omega_{y\mathrm{C}} \, \omega_{x\mathrm{C}} = M_{z\mathrm{C}}

Ver Também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Friedland, B.. Control System Design: An Introduction To State-Space Methods. [S.l.]: Dover Publications, Incorporated. 513 p. p. 35. ISBN 9780486442785