Equações separáveis

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Definição[editar | editar código-fonte]

Uma equação diferencial é dita separável ou de variáveis separáveis se pode ser escrita na forma[1] .:

\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)} ou \frac{dy}{dx}=\frac{h(y)}{v(x)}

Para resolvermos uma equação diferencial separável, basta separarmos as variáveis e em seguida integramos ambos os membros.

Observação[editar | editar código-fonte]

Quando a variável independente não aparece explicitamente, ou seja, quando g(x) = 1, a equação diferencial é chamada autônoma.[2]

Método[editar | editar código-fonte]

Seja a EDO de 1ª ordem y'=\frac{dy}{dx}=f(x) (1). Podemos obter a solução geral para esta EDO por separação de variáveis:

 y'=\frac{dy}{dx}=f(x)dy=f(x)dx

que pode ser integrada diretamente como:

 y=\int f(x)dx+C

onde C é a constante de integração. Para obtermos uma solução particular (ou seja, um valor específico para a constante C), é necessário fornecer uma condição de contorno para a equação (1).[3] .

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Propagação de Praga

Sabendo que em uma população isolada com P indivíduos, o número de contaminados por uma doença no instante t,  x(t) \,, varia em uma taxa proporcional ao número de indivíduos contaminados e não-contaminados. Escrever e resolver a Equação diferencial ordinária associada a este problema.

Solução

 \frac{dx(t)}{dt}= Kx(t)[P-x(t)]\,, como esta equação é do tipo separável, temos:
 \frac{dx}{x[P-x]}= Kdt\,.


Integrando em ambos os lados, segue que:

 \int \frac{dx}{x[P-x]}= \int Kdt\,.

Resolvendo por frações parciais, obtemos:

 \frac{1}{x[P-x]}= \frac{A}{x} + \frac{B}{[P-x]}\,.


Segue um sistema onde:

 1=AP + (B-A)x\,, com isso  A= \frac{1}{P} \, ,  A=B \,.


Logo temos a seguinte integral:

 \int \frac{1}{P}(\frac{1}{x}+\frac{1}{P-x})dx\,.


Resolvendo a integral, temos:


 \ln{x} - \ln{(P-x)} = KPt + \ln{C}\,, onde C é uma constante.


 \ln{\frac{x}{P-x}} = KPt + \ln{C}\,, assim:


 \frac{x}{P-x} = Ce^{KPt}\, ;


 (1+Ce^{KPt})x = PCe^{KPt}\, ;


 x(t)= \frac{PCe^{KPt}}{(1+Ce^{KPt})}\, .


Com isso, a solução desta equação é expressa por:

 x(t)= \frac{P}{(1+\frac{1}{C}e^{-KPt})}\, .


Referências

  1. BOYCE, W. E; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. Rio de Janeiro: LTC,2006. Página 24
  2. Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis (em português). Página visitada em 06 de novembro de 2012.
  3. LIMA, H.G. Equações Diferenciais Lineares. Pombal-PB: Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar. Página 13

Ver também[editar | editar código-fonte]