Homotopia

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
(Redirecionado de Equivalência homotópica)
Uma homotopia entre dois caminhos.

Em topologia, homotopia (do grego antigo: ὁμός homós "mesmo" τόπος tópos "lugar") significa deformar continuamente de duas aplicações em um espaço topológico. Homotopia possuí várias aplicações na matemática, atuando principalmente como um invariante topológico.

Definição Formal[editar | editar código-fonte]

Em Topologia, Duas funções contínuas entre espaços topológicos dizem-se homotópicas se existir uma aplicação contínua , chamada homotopia, tal que e , onde .

Intuitivamente, podemos pensar o parâmetro como sendo o tempo, assim descreve uma deformação contínua de em : quando temos a função e quando temos a função .

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Seja um espaço topológico. Dizemos que dois caminhos , com e são homotópicos se existe uma função contínua tal que

Ser homotopia é uma relação de equivalência, o que nos permite tomar a classe de equivalência das homotopias , onde denota a relação de equivalência homotópica.


Se for o caso em que , isto é, o fim do caminho é o início do caminho , então podemos definir o produto destes caminhos como sendo o caminho

O produto de caminhos satisfaz as propriedades de associatividade: , existência do elemento neutro: e existência do elemento inverso: existe um tal que .

Grupos de homotopia[editar | editar código-fonte]

Os dois caminhos pontilhados acima são homotópicos relativamente aos seus pontos iniciais e finais. A animação representa uma possível homotopia entre estes dois caminhos.

Definimos o grupo de homotopia relativo ao ponto base , como sendo o conjunto , munido do produto definido acima.

O n-ésimo grupo de homotopia de um espaço topológico , com ponto base , que se representa por , é o grupo constituído pelo conjunto das classes de homotopia das aplicações contínuas tais que , munido com a operação justaposição. O primeiro destes grupos denomina-se grupo fundamental.

Equivalência homotópica[editar | editar código-fonte]

Dois espaços topológicos e dizem-se homotopicamente equivalentes se existirem aplicações contínuas entre esses espaços e tais e sejam homotópicas respectivamente às aplicações identidade de e . Equivalência homotópica é a noção de igualdade traduzida pela ideia de deformação.

Outras noções de igualdade topológica[editar | editar código-fonte]

Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.