Equivalência lógica

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Na lógica, as asserções p e q são ditas logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentes, se  p \models q   e   q \models p . Em termos intuitivos, duas sentenças são logicamente equivalentes se possuem o mesmo "conteúdo lógico".

Do ponto de vista da teoria da demonstração, p e q são equivalentes se cada uma delas pode ser derivada a partir da outra. Semanticamente, p e q são equivalentes se elas têm os mesmos valores para qualquer interpretação.

A notação normalmente usada para representar a equivalência lógica entre p e q é pq, pq ou p \approx q.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • \alpha \approx \alpha (Reflexividade)
  • Se \alpha \approx \beta então \beta \approx \alpha (Simetria)
  • Se \alpha \approx \beta e \beta \approx \gamma então \alpha \approx \gamma (Transitividade)

Essas três propriedades mostram que a equivalência lógica é uma Simplismente: P^Q = Q^P | PvQ = QvP | PwQ = QwP | P<->Q=Q<->P | P->Q = ~Q->~P |relação de equivalência.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

As seguintes sentenças são logicamente equivalentes:

  1. Se hoje é sábado, então hoje é fim de semana.
  2. Se hoje não é fim de semana, então hoje não é sábado.

Em símbolos:

d : "Hoje é sábado"

f : "Hoje é fim de semana"

  1.  d \rightarrow f
  2.  \neg f \rightarrow \neg d

Sintaticamente, (1) e (2) são equivalentes pela Lei da Contraposição. Semânticamente, (1) e (2) têm os mesmos valores nas mesmas interpretações.

Teorema da Substitutividade[editar | editar código-fonte]

Seja \alpha uma fórmula contendo uma subfórmula \beta, e seja \alpha’ o resultado de substituir em \alpha uma ou mais ocorrências da subfórmula \beta pela fórmula \gamma. Se \beta for logicamente equivalente a \gamma então \alpha é logicamente equivalente a \alpha'.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Seja \alpha = (R \wedge S) \leftrightarrow (Q \rightarrow P) e \beta = Q \rightarrow P. Como \neg Q \vee P é equivalente a Q \rightarrow P, então (R \wedge S) \leftrightarrow (Q \rightarrow P) é equivalente a (R \wedge S) \leftrightarrow (\neg Q \vee P).

Ver também[editar | editar código-fonte]