Equivalência lógica

Na lógica, as asserções p e q são ditas logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentes, se $p \models q$  e  $q \models p$. Em termos intuitivos, duas sentenças são logicamente equivalentes se possuem o mesmo "conteúdo lógico".

Do ponto de vista da teoria da demonstração, p e q são equivalentes se cada uma delas pode ser derivada a partir da outra. Semanticamente, p e q são equivalentes se elas têm os mesmos valores para qualquer interpretação.

A notação normalmente usada para representar a equivalência lógica entre p e q é p ≡ q, p ⇔ q ou p $\approx$ q.

Propriedades

• $\alpha \approx \alpha$ (Reflexividade)
• Se $\alpha \approx \beta$ então $\beta \approx \alpha$ (Simetria)
• Se $\alpha \approx \beta$ e $\beta \approx \gamma$ então $\alpha \approx \gamma$ (Transitividade)

Essas três propriedades mostram que a equivalência lógica é uma relação de equivalência.

Exemplo

As seguintes sentenças são logicamente equivalentes:

1. Se hoje é sábado, então hoje é fim de semana.
2. Se hoje não é fim de semana, então hoje não é sábado.

Em símbolos:

d : "Hoje é sábado"

f : "Hoje é fim de semana"

1. $d \rightarrow f$
2. $\neg f \rightarrow \neg d$

Sintaticamente, (1) e (2) são equivalentes pela Lei da Contraposição. Semânticamente, (1) e (2) têm os mesmos valores nas mesmas interpretações.

Teorema da Substitutividade

Seja $\alpha$ uma fórmula contendo uma subfórmula $\beta$, e seja $\alpha$’ o resultado de substituir em $\alpha$ uma ou mais ocorrências da subfórmula $\beta$ pela fórmula $\gamma$. Se $\beta$ for logicamente equivalente a $\gamma$ então $\alpha$ é logicamente equivalente a $\alpha$'.

Exemplo

Seja $\alpha = (R \wedge S) \leftrightarrow (Q \rightarrow P)$ e $\beta = Q \rightarrow P$. Como $\neg Q \vee P$ é equivalente a $Q \rightarrow P$, então $(R \wedge S) \leftrightarrow (Q \rightarrow P)$ é equivalente a $(R \wedge S) \leftrightarrow (\neg Q \vee P)$.

Ver também

• Condições necessárias e suficientes
• Se e somente se
• Relação de equivalência