Escalar de curvatura de Ricci

Em matemática, a curvatura escalar de uma superfície é a familiar curvatura gaussiana. Para as variedades riemannianas de dimensão mais alta (n > 2), é o dobro da soma de todas as curvaturas seccionais ao longo de todos os 2-planos atravessados por um certo marco ortonormal. Matematicamente a curvatura escalar coincide também o traço total da curvatura de Ricci assim como do tensor de curvatura.

Expressão em componentes

A curvatura escalar de Ricci R pode ser expressa facilmente em terminos do tensor métrico $g_{\mu\nu}$(e suas derivadas primeiras) que define a geometria da superfície ou variedade riemanniana cuja curvatura escalar pretendemos encontrar, usando a convenção de soma de Einstein:

$R = -g^{\mu\nu}\left[\Gamma_{\mu\nu}^\lambda \Gamma_{\lambda\sigma}^\sigma - \Gamma_{\mu\sigma}^\lambda \Gamma_{\nu\lambda}^\sigma \right]-\part_\nu\left[g^{\mu\nu} \Gamma^\sigma_{\mu\sigma} -g^{\mu\sigma} \Gamma^\nu_{\mu\sigma} \right]$

Onde os símbolos de Christoffel que aparecem na expressão anterior são calculados a partir das derivadas primeiras das componentes do tensor métrico:

$\Gamma^i_{kl}=\frac{1}{2}g^{im} \left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^l} + \frac{\partial g_{ml}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^m} \right)$