Esfera

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Uma esfera.

A esfera pode ser definida como "um sólido geométrico formado por uma superfície curva contínua cujos pontos estão eqüidistantes de um outro fixo e interior chamado centro"; ou seja, é uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância de seu centro, ou ainda, de qualquer ponto de vista de sua superfície, a distância ao centro é a mesma.

Uma esfera é um objeto tridimensional perfeitamente simétrico.[1] Na matemática, o termo se refere à superfície de uma bola. Na física, esfera é um objeto (usado muitas vezes por causa de sua simplicidade) capaz de colidir ou chocar-se com outros objetos que ocupam espaço.

Quanto à geometria analítica, uma esfera é representada (em coordenadas retangulares) pela equação: (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2 em que a, b, c são as coordenadas do centro da esfera nos eixos x, y, z respetivamente, e r é o raio da esfera.

Área e volume[editar | editar código-fonte]

semi-esfera

A área de uma superfície esférica é obtida pela fórmula:

A = 4\pi r^2

O volume de uma esfera é dado pela fórmula

V = \frac{4}{3}\pi r^3

onde r é o raio da esfera e π é a constante pi.

Calota x segmento esférico[editar | editar código-fonte]

Parte azul: calota; parte branca: segmento esférico.

Calota seria metaforicamente "a tampa de uma laranja", demonstrada pela parte azul no desenho.

Área da calota:

 Ac = 2 \pi \cdot r \cdot h

Área do Segmento Esférico:

 As = At - Ac

Em que, As é a área do segmento, At área total da esfera e, Ac área da calota.

Logo, o volume do segmento é:

 V = {\pi \cdot h^2 \over 3} \cdot (3 \cdot R - h)

Fuso x cunha[editar | editar código-fonte]

Fusocunha1.JPG Em azul é o fuso, em cinza é a cunha.

Fuso é uma parte da esfera, podendo ser representada por um "gomo de tangerina" (metaforicamente).

Área do fuso:

 Af = {\alpha \over 360} \cdot 4 \pi \cdot r^2

\alpha é o ângulo do fuso.

O volume do fuso é:

 Vc = {\alpha \over 360} \cdot {4 \over 3} \cdot \pi r^3

Nota-se que a área e o volume da cunha podem ambos ser obtidos subtraindo-se os respectivos valores para o fuso do valor total para a esfera.

Volume[editar | editar código-fonte]

O volume de uma semi-esfera é igual a soma dos volumes de discos, concêntricos e de espessura infinitesimal, empilhados ao longo do eixo x, de x = r (y = 0) até x = 0 onde o disco tem raio r (y = r).

Num dado x, o volume incremental (δV) é dado pelo produto da área transversal no ponto x pela largura (δx):

\delta V \approx \pi y^2 \cdot \delta x.

O volume da semi-esfera é o somatório de todos os volumes dos discos infinitesimais.

V_{\frac{1}{2}} \approx \sum \pi y^2 \cdot \delta x.

No limite em que δx se aproxima de zero fica:

V_{\frac{1}{2}} = \int_{x=0}^{x=r} \pi y^2 dx.

em toda a evolução de "x" o raio da esfera (r) é sempre constante formando um triângulo retângulo conectando x, y e r à origem, obedecendo ao teorema de Pitágoras:

r^2 = x^2 + y^2.

Substituindo y:

V_{\frac{1}{2}} = \int_{x=0}^{x=r} \pi (r^2 - x^2)dx.

Calculando a integral:

V_{\frac{1}{2}} = \pi \left[r^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{x=0}^{x=r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) = \frac{2}{3}\pi r^3.

Que é o valor da semi-esfera. Dobrando este valor temos o volume total da esfera:

V = \frac{4}{3}\pi r^3.

Área[editar | editar código-fonte]

Uma vez provado o volume, podemos demostrar a área da superfice a partir deste resultado (que se explica ao entender que uma esfera é a composição de "cascas de esfera" de espessura infinitesimal, "uma dentro da outra"):

\frac{4}{3}\pi r^3 = \int_{0}^{r}A(r) dr.

Derivando os dois lados da equação em relação a r:

4\pi r^2 = A(r).

Que pode ser abreviada como:

A = 4\pi r^2.

A área também pode ser obtida usando coordenadas esféricas. Um elemento de área da esfera, em coordenadas esféricas é dado por:

dA = r^2 \mathrm{sen}\,\phi\, d\phi\, d\theta.

Portanto a área total será:

A = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi r^2 \mathrm{sen}\,\phi \, d\phi \, d\theta = 4\pi r^2.

Equação da esfera em R3[editar | editar código-fonte]

Em geometria analítica, uma esfera com centro (x0, y0, z0) e raio r é o lugar geométrico tal que:

(x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.

Na forma parametrizada

x = x_0 + r \mathrm{sen}\, \theta \; \cos \varphi
y = y_0 + r \mathrm{sen}\, \theta \; \mathrm{sen}\, \varphi \qquad (0 \leq \varphi \leq 2\pi \mbox{ e } 0 \leq \theta \leq \pi )
z = z_0 + r \cos \theta

Referências

  1. Eric W. Weisstein. Esfera. Wolfram Research. MathWorld. Página visitada em 11 de novembro de 2012.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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