Espaço completamente regular

Em topologia, um espaço topológico é completamente regular se um conjunto fechado e um ponto externo a este conjunto podem ser separados por uma função contínua; ou, mais precisamente:

Para todo conjunto fechado A não vazio e todo ponto p, $p \notin A\,$, existe uma função contínua f com contradomínio no intervalo [0, 1] tal que f(A) = { 1 } e f(p) = 0.

Alguns textos incluem na definição de completamente regular que tenha a propriedade acima e também a propriedade T₁, ou seja, que dois pontos p e q possam ser separados por abertos A e B (não necessariamente disjuntos) em que cada ponto pertence a um aberto mas não ao outro.

Um espaço T_{3 1/2} é definido, dependendo do livro consultado, como um espaço completamente regular, ou como um espaço completamente regular e T₁.

Relação com os demais axiomas de separação

Ver artigo principal: Axiomas de separação

• Para espaços de Hausdorff, todo espaço T4 ou espaço normal é um espaço completamente regular (T_{3 1/2}).
• Todo espaço completamente regular (T_{3 1/2}) é um espaço regular ou espaço T3.