Espaço completo

Um espaço métrico é completo quando todas as sucessões de Cauchy convergem.

Exemplos

• O conjuntos dos números reais $\mathbb{R}$ com a métrica usual $d(x, y) = |x - y|$ é completo.
• Qualquer subconjunto fechado de $\mathbb{R}$ é completo - essa propriedade é geral: qualquer subconjunto fechado de um espaço completo é completo.

Espaços métricos não-completos

Seja E um espaço métrico qualquer. Se E não é completo, pode ser construída uma extensão de E, $\bar{E}\,$, com as seguintes propriedades:

• A inclusão i: E → $\bar{E}\,$, i(x) = x, é uma isometria de E para a sua imagem i(E).
• E é denso em $\bar{E}\,$.
• $\bar{E}\,$ é um espaço completo.

Pode-se mostrar que $\bar{E}\,$ é único, no seguinte sentido:

• Se $\bar{E_1} \mbox{ e } \bar{E_2}\,$ são espaços métricos completos, $i_k: E \rightarrow \bar{E_k}\,$ são isometrias de E para suas imagens com as imagens densas, então $\bar{E_1} \mbox{ e } \bar{E_2}\,$ são isométricos.

Esboço da construção

A construção de $\bar{E}\,$ é intuitiva: como, em E, algumas sequências de Cauchy não convergem, basta acrescentar a E cada uma delas, evitando repetir duas sequências que convergiriam para o mesmo elemento.

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