Espaço completo

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Question book.svg
Esta página ou secção não cita nenhuma fonte ou referência, o que compromete sua credibilidade (desde Agosto de 2011).
Por favor, melhore este artigo providenciando fontes fiáveis e independentes, inserindo-as no corpo do texto por meio de notas de rodapé. Encontre fontes: Googlenotícias, livros, acadêmicoYahoo!Bing. Veja como referenciar e citar as fontes.

Um espaço métrico é completo quando todas as sucessões de Cauchy convergem para um limite que pertence ao espaço.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O conjuntos dos números reais \mathbb{R} com a métrica usual d(x, y) = |x - y| é completo.
  • Qualquer subconjunto fechado de \mathbb{R} é completo - essa propriedade é geral: qualquer subconjunto fechado de um espaço completo é completo.

Espaços métricos não-completos[editar | editar código-fonte]

Seja E um espaço métrico qualquer. Se E não é completo, pode ser construída uma extensão de E, \bar{E}\,, com as seguintes propriedades:

  • A inclusão i: E → \bar{E}\,, i(x) = x, é uma isometria de E para a sua imagem i(E).
  • E é denso em \bar{E}\,.
  • \bar{E}\, é um espaço completo.

Pode-se mostrar que \bar{E}\, é único, no seguinte sentido:

  • Se \bar{E_1} \mbox{ e } \bar{E_2}\, são espaços métricos completos, i_k: E \rightarrow \bar{E_k}\, são isometrias de E para suas imagens com as imagens densas, então \bar{E_1} \mbox{ e } \bar{E_2}\, são isométricos.

Esboço da construção[editar | editar código-fonte]

A construção de \bar{E}\, é intuitiva: como, em E, algumas sequências de Cauchy não convergem, basta acrescentar a E cada uma delas, evitando repetir duas sequências que convergiriam para o mesmo elemento.

Wiki letter w.svg Este artigo sobre matemática é mínimo. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.