Espaço de Hausdorff

Um espaço de Hausdorff (ou espaço separado) é um espaço topológico no qual quaisquer dois pontos distintos têm vizinhanças disjuntas. Esta propriedade era uma dos axiomas da definição original de espaço topológico dada por Felix Hausdorff.

Exemplos

• Qualquer espaço métrico é de Hausdorff;
• Qualquer espaço grosseiro com mais de um elemento não é de Hausdorff;
• O espaço X={0,1,2} com a topologia {Ø,{0},{2},{0,2},X} não é separado: os pontos 0 e 2 podem ser separados um do outro mas não do ponto 1.

Propriedades

• Num espaço de Hausdorff, o limite de uma sucessão, quando existe, é único;
• Um subconjunto compacto de um espaço de Hausdorff é fechado;
• Um espaço X é de Hausdorff se e só se a diagonal Δ = {(x,x) | x ∈ X} de X × X é fechada na topologia produto;
• Qualquer espaço de Hausdorff é T₁;
• Um subconjunto de um espaço de Hausdorff é de Hausdorff;
• Um produto de espaços de Hausdorff é de Hausdorff;
• Se o espaço X tem um número finito de elementos então o espaço é Hausdorff se, e somente se, a topologia é discreta.

Relação com outros axiomas de separação

• Uma condição mais fraca que Hausdorff é a de um Espaço T₁: $\forall x, y, x \ne y, \exists A, B, x \in A, y \notin A, x \notin B, y \in B\,$
• Uma condição mais forte que Hausdorff é ser um espaço de Urysohn ou Espaço T_2½, em que dois pontos distintos x e y podem ser separados por vizinhanças fechadas distintas.