Espaço de Hilbert

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Na matemática, um espaço de Hilbert é uma generalização do espaço euclidiano que não precisa estar restrita a um número finito de dimensões.

É um espaço vetorial dotado de produto interno, ou seja, com noções de distância e ângulos. Esse espaço obedece uma relação de completude, que garante que os limites existem quando esperados, o que permite e facilita diversas definições da Análise. Os espaços de Hilbert permitem que, de certa maneira, noções intuitivas sejam aplicadas em espaços funcionais. Por exemplo, com eles podemos generalizar os conceitos de séries de Fourier em termos de polinômios ortogonais. Os espaços de Hilbert são de importância crucial para a Mecânica Quântica.

Espaços de Hilbert foram criados por David Hilbert, que os estudou no contexto de equações integrais. John von Neumann criou a nomenclatura "der abstrakte Hilbertsche Raum" em seu famoso trabalho em operadores hermitianos não limitados publicado em 1929. Von Neumann é talvez o matemático que melhor reconheceu a importância desse trabalho original.

Os elementos de espaço de Hilbert abstrato são chamados vetores. Em aplicações, eles são tipicamente sequências de números complexos ou funções. Em Mecânica Quântica, por exemplo, um sistema físico é descrito por um espaço de Hilbert complexo que contém os vetores de estado, que contém todas as informações do sistema e complexidades multifocais.

Definição[editar | editar código-fonte]

Um espaço de Hilbert é um espaço vetorial com produto interno que também é um espaço de Banach com a norma canônica definida pelo produto interno:

\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}.
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