Espaço dual

Em matemática, qualquer espaço vetorial V sobre um corpo K pode ser associado a um espaço dual, consistindo dos funcionais lineares $f: V \to K\,$.

Quando V é um espaço vetorial topológico, considera-se o espaço dos funcionais lineares contínuos.

Espaço dual algébrico

O espaço dual é um espaço vetorial

O espaço dual de um espaço vetorial $V\,$ sobre um corpo $K\,$ é costumeiramente denotado $V'\,$ ou $V^*\,$ e também é um espaço vetorial sobre o mesmo corpo uma vez definida as operações de soma e multiplicação por escalar como:

$(\phi + \psi )( x ) = \phi ( x ) + \psi ( x ) \,$

$( a \phi ) ( x ) = a \phi ( x ) \,$

Para todo $\phi, \psi$ em $V^*$, $a$ em $K$ e $x$ em $V$.

Caso de dimensão finita

Se V é um Espaço vetorial de dimensão finita, então V* tem a mesma dimensão de V. Seja $\{e_{1}\,,...\,,e_{n}\}$ uma base de V, então a base dual é dada pelo conjunto $\{f_{1}\,,...\,,f_{n}\}$ onde:

$\mathbf{f}_{i} (\mathbf{e}_j)= \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{se }i = j \\ 0, & \mbox{se } i \ne j \end{matrix}\right.$

O espaço dual de um espaço de Hilbert é isomórfico ao próprio espaço

Seja $H\,$ um espaço de Hilbert. O teorema da representação de Riesz afirma que se $f\,$ é um funcional linear contínuo então existe um $v\in H\,$ tal que:

$f(x)= \langle v, x \rangle,~~\forall x\in H\,$.

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