Espaço dual

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Em matemática, qualquer espaço vetorial V sobre um corpo K pode ser associado a um espaço dual, consistindo dos funcionais lineares f: V \to K\,.

Quando V é um espaço vetorial topológico, considera-se o espaço dos funcionais lineares contínuos.

Espaço dual algébrico[editar | editar código-fonte]

O espaço dual é um espaço vetorial[editar | editar código-fonte]

O espaço dual de um espaço vetorial V\, sobre um corpo K\, é costumeiramente denotado V'\, ou V^*\, e também é um espaço vetorial sobre o mesmo corpo uma vez definida as operações de soma e multiplicação por escalar como:

 (\phi + \psi )( x ) = \phi ( x ) + \psi ( x ) \,
 ( a \phi ) ( x ) = a \phi ( x ) \,

Para todo \phi, \psi em V^*, a em K e x em V.

Caso de dimensão finita[editar | editar código-fonte]

Se V é um espaço vetorial de dimensão finita, então V* tem a mesma dimensão de V. Seja \{e_{1}\,,...\,,e_{n}\} uma base de V, então a base dual é dada pelo conjunto \{f_{1}\,,...\,,f_{n}\} onde:


\mathbf{f}_{i} (\mathbf{e}_j)= \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{se }i = j \\ 0, & \mbox{se } i \ne j \end{matrix}\right.

O espaço dual de um espaço de Hilbert é isomórfico ao próprio espaço[editar | editar código-fonte]

Seja H\, um espaço de Hilbert. O teorema da representação de Riesz afirma que se f\, é um funcional linear contínuo então existe um v\in H\, tal que:

f(x)= \langle v, x \rangle,~~\forall x\in H\,.


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