Espaço métrico

Um conjunto munido de uma métrica é um espaço métrico; entre as muitas métricas possíveis encontra-se a métrica de Manhattan.

Em matemática, um espaço métrico $(X,d)\,$ é um conjunto $X\,$ munido de uma Métrica (ou distância), isto é, uma função $d:X\times X\to \R\,$ tal que para quaisquer $x,y,z\in X$,

• $d(x,y)\,$ é um número real, não negativo e finito
• $d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$
• $d(x,y)=d(y,x)\,$ (simetria)
• $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (desigualdade triangular)

Exemplos

• $(\R^n,d)$, onde $d((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n))=\sqrt{(y_1-x_1)^2+\cdots+(y_n-x_n)^2}$, é o espaço de dimensão $n\,$ com a distância usual (espaço vetorial euclidiano).
• $(X,d)\,$, onde $d(x,y)= \left \{ \begin{matrix} 0, & \mbox{se }x=y \\ 1, & \mbox{se }x\neq y \end{matrix} \right.$ é denominado de espaço métrico discreto.
• Qualquer subconjunto de um espaço métrico é um espaço métrico (para a mesma distância)
• Seja V o conjunto das funções contínuas de domínio [a,b] e contra-domínio real. Então $d(f,g) = \max|f(x) - g(x)|\,$ torna V um espaço métrico (a condição de continuidade é importante para garantir que essa métrica seja definida).

Propriedades

Um espaço métrico é topologizável, isto é admite uma estrutura natural de espaço topológico. Usando a notação $B(x, r)\,$ para representar a bola aberta de raio r, $B(x, r) = \{ y \ | \ d(x, y) < r \} \,$, podem-se escrever várias formas equivalentes de definir esta topologia:

• Um conjunto A é aberto quando $\forall x \in A \ , \ \exists \epsilon > 0 \ , \ B(x, \epsilon) \subset A\,$.
• A topologia gerada pelas bolas abertas.

Note-se, em particular, que as bolas abertas são conjuntos abertos, e essa topologia é Hausdorff.