Espaço paracompacto

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Em matemática, em especial na análise funcional e topologia, um espaço paracompacto é um espaço topológico no qual toda cobertura aberta admite um refinamento localmente finito.

Conceitos preliminares[editar | editar código-fonte]

Definição 1: Um refinamento de uma cobertura de um espaço X é uma nova cobertura do mesmo espaço tal que cada conjunto da nova cobertura é um subconjunto de algum elemento da antiga cobertura. Simbolicamente, a cobertura V = \{V_{\beta} : \beta \in B \} é um refinamento da cobertura U = \{U_{\alpha} : \alpha \in A\} se, e somente se, para qualquer V_{\beta} \in V, existe algum U_{\alpha} \in U tal que V_{\beta} está contido em U_{\alpha}.

Definição 2: Uma cobertura aberta de um espaço topológico (X, \tau) é localmente finita se todo ponto do espaço admite uma vizinhança aberta que intersecta apenas um número finito de elementos da cobertura. Simbolicamente, U = \{U_{\alpha} : \alpha \in A\} é localmente finito se, e somente se, \forall x \in X, existe uma vizinhança V(x) de x tal que o conjunto:

\left\{ \alpha \in A : U_{\alpha} \cap V(x) \neq \varnothing \right\}
é finito.

O conceito de paracompacidade é uma das mais úteis generalizações de compacidade descobertas nos últimos anos. É particularmente útil para aplicações em topologia e geometria diferencial.

Muitos espaços que nos são familiares já são paracompactos. Por exemplo, todo espaço compacto é paracompacto; isto é consequência imediata da definição. Também é verdadeiro que espaços metrizáveis são paracompactos; este teorema se deve a Arthur Harold Stone. Logo, a classe dos espaços paracompactos inclui importantes classes de espaços topológicos.

Para poder observar como a paracompacidade generaliza o conceito de compacidade, recordamos a definição de compacidade:

"Um espaço X é dito compacto se toda cobertura aberta de X, A admite uma subcobertura finita"

Um modo equivalente de dizer isto é:

"Um espaço X é compacto se toda cobertura aberta A tem um refinamento finito B que cobre X"

Esta definição é equivalente à usual: dado um refinamento B, pode-se escolher, para cada elemento de B um elemento de A que o contém; deste modo obtemos uma subcoleção finita de A que cobre X.

Esta nova formulação de compacidade é, talvez, embaraçosa, mas nos sugere um modo de generalizar:

Definição: Um espaço topológico (X, \tau) é paracompacto se toda cobertura aberta A de X admite um refinamento localmente finito B que cobre X.

Exemplo: O espaço \mathbb{R}^n com a topologia induzida pela métrica,\tau ' é paracompacto. Seja (X, \tau) = (\mathbb{R}^n, \tau '). Seja A uma cobertura aberta de X. Seja, ainda, B_0 = \empty, e para cada inteiro positivo m, seja B_m a bola aberta de raio m centrada na origem. Dado m, escolha um número finito de elementos de A que cubra \overline{B_m} e intersecte cada uma com o conjunto aberto X- \overline{B_{m-1}}; denote esta coleção finita de conjuntos abertos por C_m. Então a coleção C = \bigcup C_m é um refinamento de A. É claro que este refinamento é localmente finito, pois o aberto B_m intersecta apenas um número finito de elementos de C , a saber aqueles que pertencem à coleção C_1 \cup C_2 \cup \cdots \cup C_m. Finalmente, C cobre X, pois dado x \in X, seja m o menor inteiro tal que x \in \overline{B_m}.

Comparação com compacidade[editar | editar código-fonte]

A paracompacidade é semelhante à compacidade nos seguintes aspectos:

  • Todo subconjunto fechado de um conjunto paracompacto é paracompacto;
  • Todo conjunto paracompacto de um espaço de Hausdorff é normal.

A paracompacidade é diferente da compacidade nos seguintes aspectos:

  • Um subconjunto paracompacto de um espaço de Hausdorff não precisa, necessariamente, ser fechado. de fato, para o caso de espaços métricos, qualquer subconjunto é paracompacto.
  • O produto cartesiano de espaços paracompactos não é, necessariamente, paracompacto. \mathbb{R}^2 com a topologia do limite inferior, o plano de Sogenfrey, é um exemplo clássico disto.