Espaço tangente

Representação pictórica. O plano que toca a esfera em um só ponto é chamado plano tangente. Cada ponto da esfera tem associado um plano tangente. Para a esfera só os puntos antipodais tem planos tangentes paralelos

Na topologia diferencial é o conjunto associado a cada ponto em uma variedade diferenciável que consiste em todos os vectores tangentes ao ponto. É um espaço vectorial da mesma dimensão que a dimensão topológica da variedade.

O conjunto de todos os espaços tangentes devidamente topologizado forma um fibrado, no caso, um fibrado tangente. Resulta ser em si mesmo outra variedade de dimensão dupla da dimensão variedade de entrada.

Ilustração do espaço tangente $\scriptstyle T_xM$ e um vetor tangente $\scriptstyle v\in T_xM$ obtido utilizando uma curva que passa por um ponto $\scriptstyle x\in M$

Definições

1.Há várias formas de entender este conceito. Primeiro expliquemos utilizando o gráfico ao lado. Iniciemos supondo que temos uma curva $\scriptstyle \gamma$ na variedade M que passa por alguma posição qualquer esolhida: $\scriptstyle x\in M$. Quer dizer um mapa $\scriptstyle \gamma\ :\ ]-\varepsilon,\varepsilon[\to M$ diferenciável que satisfaça $\scriptstyle \gamma(0)=x$ y $\scriptstyle \gamma'(0)=v$. Resulta que o conjunto de todos estes vetores formam o espaço tangente $\scriptstyle T_xM$ de x em M.

2. Sejam M uma variedade arbitrária e x um ponto em M. Dizemos que um vetor v está no espaço tangente à M em x se existe uma curva γ(t) : (-a,a) -> M (Isto é, uma curva com um domínio em um aberto e imagem na variedade, em outras paralvras, tal curva está contida na variedade e é bem definida, no sentido de que sua derivada existe (por isso temos que a imagem de γ(t) está na variedade (M))) tal que γ(0) = x e γ'(0) = v.

Ou seja, em linguagem de conjuntos: TxM = {v | existe γ(t) : (-a,a) -> M com γ(0) = x e γ'(0) = v}.

Obs. 1.Note que nós definimos o espaço tangente localmente, sempre ponto a ponto.

    2.A coleção de espaços tangentes é chamado de fibrado tangente.

Referências

• Michor, Peter W. (2008), Topics in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 93, Providence: American Mathematical Society
• Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds, HarperCollins, ISBN 978-0-8053-9021-6