Espaço topológico quociente

Em topologia, um quociente de um espaço topológico X é um novo espaço topológico que se obtém colando umas regiões de X a outras.

Definição

O quociente de um espaço topológico X por uma relação de equivalência ~ é o conjunto X/~ das classes de equivalência munido da topologia (chamada topologia quociente) cujos abertos são os conjuntos de classes cuja reunião é um aberto de X.

Exemplos

• O quociente de $[0,1]\!$ pela relação $x\sim y$ se $|x-y|\in\{0,1\}$ é homeomorfo a $\mathbb{S}^1$.
• O quociente de $[0,1]\times[0,1]\!$ pela relação de equivalência gerada por $(x,0)\sim (x,1)\,\!$ e $(0,y)\sim (1,y)\,\!$, para $x,y\in[0,1]$ é homeomorfo ao toro $\mathbb{T}^2$.
• O processo acima, que cola as bordas do quadrado de forma direta, pode ser feito de modo a torcer o quadrado. Assim, a relação de equivalência gerada por $(x,0)\sim(1-x,1)\,\!$ e $(0,y)\sim(1,1-y)\,\!$, para $x,y\in[0,1]$ gera o plano projectivo, enquanto que a relação de equivalência gerada por $(x,0)\sim(1-x,1)\,\!$ e $(0,y)\sim(1,y)\,\!$, para $x,y\in[0,1]$ gera a garrafa de Klein.