Espaços de Hölder

Em matemática, sobretudo na análise funcional e na teoria das equações diferenciais, os espaços de Hölder espaços vectoriais formados por funções contínuas que apresentam certas condições adicionais de regularidade.

Mais do que simplesmente classes de regularidade, os espaços de Hölder por si mesmos possuem propriedades algébricas importantes: são espaços normados completos na métrica induzida por sua norma, ou seja, são espaços de Banach.

Definição e notação

Seja $U\subseteq\mathbb{R}^n\,$ um conjunto aberto e $\gamma\in (0,1]\,$ um número real. Uma função $f:U\to\mathbb{R}\,$ é dita Hölder-contínua com expoente $\gamma\,$ se existir uma constante real $C\,$ tal que:

$\left|f(x)-f(y)\right|\leq C|x-y|^\gamma, \forall x,y\in U\,$

Observe que se $\gamma=1\,$ o critério coincide com o de função Lipschitz contínua.

Neste caso, podemos definir a $\gamma\,$-ésima semi-norma de Hölder como o ínfimo das constantes $C\,$ com a propriedade acima, ou, ainda:

$[f]_{C^{0,\gamma}(U)}= \sup\left\{\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\gamma}, x,y\in U,x\neq y\right\}$

Se $f\,$ for ainda uma função limitada em $U\,$, então a norma do supremo está bem definida:

$\|f\|_{C^0(U)}=\sup_{x\in u}|f(x)|\,$

E a $\gamma\,$-ésima semi-norma de Hölder é, então, definida como:

$\|f\|_{C^{0,\gamma}(U)} = \|f\|_{C^0(U)}+[f]_{C^{0,\gamma}(U)}\,$

O espaço de Hölder $C^{k,\gamma}(U)\,$ consiste de todas as funções $f:U\to\mathbb{R}^n\,$ que pertencem ao espaço $C^k(U)\,$ das funções k vezes continuamente diferenciáveis para as quais a norma:

$\|f\|_{C^{k,\gamma}(U)}=\sum_{|\alpha|\leq k}\|D^\alpha f\|_{C^0(U)}+\sum_{|k|=\alpha}[D^\alpha f]_{C^{0,\gamma}(U)}\,$

onde $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\,$ é um multi-índice, sua ordem é dada por:

$|\alpha|=\alpha_1+\ldots+\alpha_n\,$

E a derivada de ordem $\alpha\,$ é dada por:

$D^\alpha f(x)= \frac{\partial^{|\alpha|}f(x)}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}\,$

Referências

• Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations. [S.l.]: American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, New York: Springer, ISBN 3-540-41160-7 .