Espaços de Sobolev

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Os espaços de Sobolev são definidos sobre domínio arbitrário  \Omega\in \mathbb{R}^N e são subespaços vetoriais dos espaços L^p(\Omega).

Defina o funcional  \|\cdot\|_{{W}^{m,p}}, onde m é um inteiro não negativo e 1\leq p\leq \infty, como

  \|u\|_{W^{m,p}}=\left(\sum_{0\leq |\alpha| \leq m}\|D^\alpha u\|_{L^p}^p\right)^{1/p} \mbox{ se } 1\leq p< \infty, (*)


 \|u\|_{W^{m,\infty}}= \max_{0\leq |\alpha| \leq m} \|D^\alpha u\|_{L^\infty} (**)


para qualquer função  u tal que o lado direito (das igualdades acima) faça sentido. Claramente uma das igualdades acima definem uma norma no espaço vetorial de funções nas quais o lado direito assume valores finitos.

Definimos


W^{m,p}(\Omega)\equiv \{ u\in L^p(\Omega);~ D^\alpha u \in L^p(\Omega) \mbox{ para } 0\leq |\alpha|\leq m, \mbox{ onde } D^\alpha u \mbox{ é a derivada} \mbox{ no sentido das distribuições de } u  \}, e

W_{0}^{m,p}(\Omega)\equiv \mbox{ o fecho de  } C_0^\infty (\Omega) \mbox{ no espaço } W^{m,p}(\Omega). Estes espaços, munidos com a norma (*), (**) são chamados espaços de Sobolev sobre \Omega.