Espaço topológico

Espaços topológicos são estruturas que permitem a formalização de conceitos tais como convergência, conexidade e continuidade. Eles aparecem em praticamente todos os ramos da matemática moderna e são uma noção unificadora central. O ramo da matemática que estuda os espaços topológicos é denominado topologia.

Definição

Uma topologia em um conjunto $X$ é uma coleção $\tau$ de partes de $X,$ chamados os abertos da topologia, com as seguintes propriedades:

1. O conjunto vazio e o próprio conjunto X são abertos: $\varnothing ,X\in \tau ;$
2. A interseção de dois conjuntos abertos é um aberto: Se $A_{1},A_{2}\in \tau ,$ então $A_{1}\cap A_{2}\in \tau ;$
3. A união de uma família arbitrária (finita ou infinita) de abertos é um aberto: Dada uma família arbitrária $(A_{\lambda })_{\lambda \in L},$ com $A_{\lambda }\in \tau ,\forall \lambda \in L,$ tem-se $(\bigcup _{\lambda \in L}A_{\lambda })\in \tau .$

Um espaço topológico é um par $(X,\tau )$ onde $X$ é um conjunto e $\tau$ é uma topologia em $X.$

Exemplos

• Se $X$ é um conjunto, a topologia $\tau =\wp (X),$ no qual $\wp (X)$ é o conjunto das partes de $X$ é denominada a topologia discreta sobre $X.$
• Se $X$ é um conjunto, a topologia $\tau =\{\varnothing ,X\}$ é denominada a topologia grosseira sobre $X.$
• Um espaço métrico $(X,d)$ tem uma estrutura natural de espaço topológico para $\tau$ definido como o conjunto das reuniões de bolas abertas $B(x,\delta )=\{y\in X:d(x,y)<\delta \}.$
• Nada impede que, a um conjunto $X$, esteja associada mais de uma topologia, por exemplo, $\tau _{1}$ e $\tau _{2}.$ Quando todo aberto de $\tau _{1}$ for um aberto de $\tau _{2},$ diz-se que a topologia $\tau _{1}$ é mais grossa que $\tau _{2},$ ou, analogamente, que $\tau _{2}$ é mais fina que $\tau _{1}.$ Como o próprio nome indica, a topologia grosseira é mais grossa que qualquer outra, e a topologia discreta é mais fina que qualquer outra.

Fechados

Ver artigo principal: Conjunto fechado

Um subconjunto de um espaço topológico diz-se fechado se o seu complementar for aberto.

Propriedades

• Dada uma família não-vazia de topologias $\{\tau _{\lambda }\},$ a sua interseção $\bigcap _{\lambda }\tau _{\lambda }$ é uma topologia.
• Essa propriedade permite construir topologias mínimas, ou seja, a menor topologia que satisfaz determinadas propriedades, como sendo a interseção de todas as topologias que satisfazem determinada propriedade (desde que essa propriedade seja hereditária para interseções!).
• Por exemplo, dada uma coleção S de subconjuntos de X (ou seja, $S\subset P(X)$), sabemos que existe uma topologia que contém S, a topologia discreta $\tau =P(X).$ Portanto, a família F de todas as topologias que contém S não é vazia, e podemos formar a sua interseção. Esta é a topologia gerada por S, e S é uma sub-base desta topologia.
• Seja $\tau _{X}$ uma topologia em X, e $Y\subset X.$ Para tornar Y um subespaço topológico, existe uma topologia canônica em Y, $\tau _{Y}=\{A\cap Y|A\in \tau _{X}\},.$ Uma forma interessante de construir essa topologia se baseia no conceito de função contínua. A função inclusão $i:Y\rightarrow X,i(y)=y$ é contínua para a topologia discreta em Y, portanto a família de todas as topologias em Y para as quais i é contínua é um conjunto não-vazio. A topologia canônica de Y é precisamente a menor topologia que torna a inclusão uma função contínua.

Referências

• Lima, Elon Lages (2013). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed. [S.l.]: IMPA. 299 páginas. ISBN 978-85-244-0158-9 
• Lima, Elon Lages (1976). Elementos de topologia geral. [S.l.]: LTC