Espectro (matemática)

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Em matemática, o espectro de uma matriz M é o conjunto \Sigma(M) dos autovalores de M. Pode-se definir, em geral, o espectro de um elemento qualquer de uma álgebra de Banach.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja (A,+,*,\mathbb{C}) uma álgebra de Banach complexa munida com uma identidade multiplicativa I. Definimos o espectro de um elemento a \in A por

\sigma (a)= \{ \lambda \in \mathbb{C} \mbox{ tal que  }  a - \lambda I  \notin inv(A) \}.

onde inv(A) é o conjunto dos elementos invertíveis de A.

Exemplo 1[editar | editar código-fonte]

Seja A = M_n(\mathbb{C}) a álgebra das matrizes quadradas de ordem n, com entradas complexas e munidas com a seguinte norma:

\|A\| = \inf\{c : \|Av\| \le c\|v\| \mbox{ para todo } v\in M_n(\mathbb{C})\}.

Para uma matriz M, segue da definição que \sigma(M) coincide com o conjunto dos autovalores de M, isto é, o conjunto dos  \lambda 's em \mathbb{C} que satisfazem det(M - \lambda I) \neq 0.

Exemplo 2[editar | editar código-fonte]

Seja X um espaço topológico de Hausdoff compacto. A norma do supremo

\|f\|_\infty=\sup\left\{\,\left|f(x)\right|:x\in\ X \right\},

define uma estrutura de álgebra de Banach sobre a álgebra das funções a valores complexos sobre X, espaço denotado por C(X,\mathbb{C}), ou simplesmente C(X).

Em C(X), é fácil mostrar que o espectro de uma função f coincide com sua imagem.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Segue da definição que o espectro de um elemento a de uma álgebra de Banach é um conjunto compacto, contido no disco em \mathbb{C} centrado na origem e de raio ||a||.

O conceito de espectro é amplamente utilizado na análise funcional, e principalmente na teoria de álgebras C*. Um resultado importante que envolve espectro é conhecido como o Teorema Espectral.

Uma das consequências do teorema espectral é a seguinte: dado um operador limitado T sobre um espaço de Hilbert da forma L^2(X,\mu), (onde (X,\mu) é um espaço de medida), pode-se definir de forma satisfatória f(T), para qualquer função contínua em C(\sigma (A)). Este procedimento é conhecido como cálculo funcional contínuo.